– Паша, привет. Хочешь мандарин?
– Привет, Саша. Да, хочу. Я очень люблю мандарины.
– Смотри, у меня 3 мандарина, нас двое. Надо как-то эти мандарины разделить.
– Давай почистим все мандарины, посчитаем, сколько всего долек, и поделим их на 2.
– Давай. Смотри, в каждом мандарине 12 долек. У нас 3 мандарина, значит, и долек 36. Каждому получается по 18 долек.
– Подожди, Саша. Но мы можем же мандарины поделить и по-другому. Взять каждый по одному, а третий мандарин разделить пополам. В нём 12 долек, значит, каждый получит по 1 целому мандарину и по 6 долек.
– Ты прав, Паша. И как тогда записать? Если
мы берём по 18 долек, то можем это записать как . Потому что в каждом мандарине по 12 долек. А если делим так, как ты
предложил, то записать как?
, что ли?
– Ничего не понимаю. Давай пойдём к Электроше. Он точно нам поможет разобраться.
– Электроша,
привет. Смотри, мы попробовали разделить на двоих 3 мандарина и у нас что-то не
очень понятное получилось. Если сначала мандарины разделить на дольки и делить
их, то получится, что каждый из нас должен взять мандарина, а если сначала каждому взять по одному
целому мандарину, а оставшийся поделить на дольки, то получится, что у каждого
из нас 1 целый мандарин и ещё 6 двенадцатых мандарина. Как записать такое
деление?
– Успокойтесь, ребята. Сейчас мы с вами во всём разберёмся, но сначала давайте устно выполним несколько упражнений.
Вернёмся к вашей задаче.
Запишем дробь . Какая это дробь? Паша, ты помнишь, как называются такие дроби?
– Конечно, Электроша, помню. Числитель этой дроби больше знаменателя, значит, перед нами неправильная дробь.
Давайте подумаем, суммой каких дробей её можно представить?
– Ну, например, .
– Или .
Мы можем ещё долго перечислять.
– Да, мальчики, вы правильные суммы
называете. А давайте запишем в виде суммы дробей
. Что вы можете сказать о дроби
?
– Числитель равен знаменателю, значит, эта
дробь равна 1. То есть нашу дробь можно записать так: .
– А – это какая дробь?
– Числитель меньше знаменателя, значит, это правильная дробь.
– Ой, – удивился Саша, – так у нас же получилось то же самое, когда мы сначала взяли себе по целому мандарину, а потом оставшийся мандарин поделили пополам.
– Конечно, Саша. У вас и должно было так получиться.
У нас получилось, что неправильную дробь мы представили в виде суммы натурального числа и правильной дроби.
Давайте посмотрим, может, это только дробь можно так представить?
Возьмём дробь . И представим её в виде суммы двух дробей
.
Чему равна дробь ? Паша, ты можешь подсчитать?
– Конечно. Эта дробь равна 9. Тогда получим,
что дробь равна сумме
.
Опять получилась сумма натурального числа и правильной дроби. Так что получается, Электроша? Любую неправильную дробь можно представить в виде такой суммы?
– Да, запомните правило: любую неправильную дробь, у которой числитель не делится нацело на знаменатель, можно представить в виде суммы натурального числа и правильной дроби.
Обратите внимание на слова «числитель не
делится нацело на знаменатель». Если же числитель делится нацело на
знаменатель, например, дробь , то такая дробь равна просто натуральному числу, в нашем случае, 3.
Но вернёмся к нашим примерам. Как правило, такие суммы записывают так ,
и читают: «одна целая шесть
двенадцатых» и «девять целых четыре восьмых».
Числа такого вида называют смешанными числами. Ну, почему такое название, я думаю, вам понятно.
– Да, Электроша, ясно. Смешали натуральные числа и дробные, вот и получились смешанные числа.
– Да, Саша, ты прав. У каждого компонента смешанной дроби есть своё название.
Так, натуральное число называют целой частью смешанного числа, а дробь – дробной частью смешанного числа.
Обратите внимание, дробная часть смешанного числа – это обязательно правильная дробь.
Например, число – это несмешанное число, потому что
– это неправильная дробь.
– Всё понятно, Электроша. А дай нам задание, чтобы проверить, как мы поняли, что такое смешанные числа.
– Хорошо.
Среди предложенных чисел укажите смешанные. Начинай ты, Паша.
– – это смешанное число. У него есть целая часть и дробная
часть. В дробной части – правильная дробь.
Число 3 несмешанное, так как у него нет дробной части.
тоже несмешанное число, потому что у него нет целой
части.
– это несмешанное число, потому что в дробной части
этого числа находится неправильная дробь.
– Молодец, Паша.
Сейчас мы с вами научимся переводить неправильную дробь в смешанное число.
То есть разберём то, как правильно выделять или, другими словами, находить целую и дробную части числа.
Давайте посмотрим на дробь . Это неправильная дробь, и 27 без остатка на 5 не делится. То есть мы
точно можем представить эту дробь суммой натурального числа и правильной дроби,
другими словами, смешанным числом.
Выполним деление с остатком числа 27 на 5.
Получим, что . Здесь 5 – это неполное частное, а 2 – остаток. Тогда целой частью
смешанного числа будет число 5, а числителем дробной части – число 2.
Знаменателем дробной части смешанного числа будет знаменатель неправильной
дроби, то есть 5.
– Ну как, мальчики, вы всё поняли?
– Вроде бы, да. Но давай решим какое-нибудь задание, чтобы нам стало ещё яснее.
– Хорошо.
Вот задание для тебя, Саша.
Переведите неправильные дроби в смешанные числа .
Первая дробь – . Разделим 17 на 3. Получим, что
. Тогда можем записать, что
равно смешанному числу
.
– Я так понял, Электроша?
– Да, Саша. Ты всё правильно понял. Продолжай.
. Разделим 16 на 9 с остатком. Получим, что
. Тогда дробь
равна
.
– Молодец, Саша.
Запомните правило: для того, чтобы неправильную дробь, у которой числитель не делится нацело на знаменатель, преобразовать в смешанное число, надо числитель разделить на знаменатель.
Полученное неполное частное записывается как целая часть смешанного числа, а остаток – как числитель дробной части смешанного числа.
Знаменатель дробной части будет равен знаменателю неправильной дроби.
Теперь давайте вернёмся к предыдущему правилу и немного его исправим. Теперь можно записать так: любую неправильную дробь, у которой числитель нацело не делится на знаменатель, можно представить в виде смешанного числа.
Ну что, вам стало понятно, что такое смешанные числа и как неправильные дроби в них переводить?
– Да, это понятно. Но вот интересно, а смешанное число можно перевести в неправильную дробь?
– Да, Паша. Можно.
Давайте возьмём, например, число
.
Представим это число в виде суммы .
Мы помним, что любое натуральное число можно
представить в виде дроби с любым знаменателем. Представим 3 в виде дроби со
знаменателем 9. Получим, что смешанное число равно . Как складываются дроби с одинаковыми знаменателями, мы знаем
. Получим, что
.
Попробуй, Саша, перевести число
в неправильную дробь.
– Представим это число в виде суммы . 2 запишем как
. Сложим
и получим, что
можно представить в виде неправильной дроби
.
Есть правило, которое помогает упростить перевод смешанного числа в неправильную дробь.
Для того, чтобы преобразовать смешанное число в неправильную дробь, надо целую часть числа умножить на знаменатель дробной части. К полученному произведению надо добавить числитель дробной части. Эту сумму записать как числитель неправильной дроби, а в её знаменатель записать знаменатель дробной части смешанного числа.
Вернёмся к нашим примерам и попробуем перевести смешанное число в дробь
по этому правилу ,
.
Начнём с . Умножим 3 на 9 и прибавим 7. Это будет числитель неправильной дроби, а
знаменателем дроби будет число 9. Получим дробь
.
Попробуй, Паша, перевести этим способом в дробь число .
– Умножим 2 на 8 и добавим 7. Получим, что
числитель неправильной дроби будет равен 23. А знаменатель – 8. .
– Молодец, Паша.
Выполните такое задание.
Преобразуйте смешанные числа в дроби, а
неправильные дроби – в смешанные числа .
Начинай ты, Саша.
– Итак, дробь .
Разделим 12 на 7 с остатком. Получим . Тогда
.
Переведём
в неправильную дробь. Умножим 3 на 6 и добавим 5. Получим,
что числитель дроби равен 23. Знаменатель дроби будет равен 6.
.
– Теперь, Паша, продолжи решать ты.
Дробь . Разделим 5 на 2 с остатком. Получим
. То есть дробь
.
Для того, чтобы перевести число
в неправильную дробь, умножим 4 на 11 и прибавим 8.
Числитель дроби будет равен 52. Знаменатель дроби будет равен 11.