Построение изображений в тонких линзах. Формула тонкой линзы

Давайте посмотрим, как же строятся изображения различных предметов в линзах. Для начала посмотрим, как получить изображения точечного источника света в собирающей и рассеивающей линзах. Для этого мы с вами в основном будем пользоваться тремя «удобными лучами», ход которых после прохождения через линзу нам заранее известен.

Во-первых, это лучи, идущие параллельно главной оптической оси, так как после преломления в линзе, они проходят через её главный фокус (или проходят их продолжения).

Из закона обратимости световых лучей следует, что лучи, которые идут к линзе через её фокус, после преломления будут направлены параллельно главной оптической оси — это второй набор лучей.

И третий набор лучей выбираем исходя из того, что лучи, проходящие через оптический центр линзы, не меняют своего направления.

Точка пересечения преломлённых лучей в собирающей линзе или их продолжений в рассеивающей, и даёт нам положение изображения точечного источника света.

Усложним задачу. Пусть точечный источник света располагается на главной оптической оси линзы. Чтобы найти, где образуется изображение, проведём от источника света два луча. Первый луч пустим вдоль главной оптической оси линзы, который, проходя через оптический центр, не испытывает преломления.

Второй луч направим под некоторым углом к линзе.

Теперь проведём побочную оптическую ось, проходящую через оптический центр линзы параллельно падающему лучу.

Далее проведём заднюю фокальную плоскость для собирающей линзы, или переднюю для рассеивающей.

Побочная оптическая ось пересечёт фокальную плоскость в побочном фокусе. Через этот побочный фокус и пойдут все параллельные данной оптической оси лучи после преломления в собирающей линзе, или продолжения преломлённых лучей в рассеивающей линзе.

Преломлённый луч (или его продолжение) пересечёт главную оптическую ось в точке, которая и будет являться изображением точечного источника света.

При этом изображение в собирающей линзе будет являться действительным, так как оно получилось на пересечении самих преломлённых лучей, а в рассеивающей — мнимым, так как оно получено на пересечении продолжений преломлённых лучей.

Теперь проведём небольшой опыт. На столе расположим экран, собирающую линзу и зажжённую свечу, удалённую от линзы на расстояние, большее, чем удвоенное фокусное. Будем передвигать экран в направлении к линзе до тех пор, пока на экране не увидим чёткое изображение пламени свечи. Чем отличается оно от изображения, которое мы увидим в зеркале, поместив перед ним эту же свечу? Во-первых, оно уменьшенное, во-вторых, перевёрнутое. Но самое главное в том, что это изображение, в отличие от мнимого изображения в зеркале, реально существует. На экране концентрируется энергия света.

Чувствительный термометр, помещённый в изображение пламени свечи, покажет повышение температуры.

Подтвердим сказанное построением (для наглядности вместо свечи используем стрелку). Итак, для получения изображения точки А воспользуемся двумя лучами. Первый луч пустим вдоль главной оптической оси линзы. Так как он проходит через оптический центр линзы, то он не испытывает преломления, поэтому мы его просто продолжаем его за линзу.

Второй луч направим под любым углом к линзе. Проводим побочную оптическую ось, проходящую через центр линзы параллельно падающему лучу. И указываем положение задней фокальной плоскости. Точка пересечения побочной оптической оси́ и фокальной плоскости даёт нам положение побочного фокуса, через который пойдут все параллельные данной оптической оси лучи после преломления в линзе. Преломлённый луч пересечёт главную оптическую ось в точке, которая и будет являться изображением точки А предмета.

Чтобы построить изображение точки В, направим луч света параллельно главной оптической оси линзы. После преломления, этот луч, как мы уже знаем, пойдёт через главный фокус линзы. Второй луч можно направить через оптический центр линзы. В точке пересечения этих двух лучей и будет находиться изображение нашей точки В. Соединяя точки А₁ и В₁ получим изображение предмета в линзе.

Теперь давайте охарактеризуем полученное нами изображение. Во-первых, оно действительное, так как получилось на пересечении преломлённых лучей. Во-вторых, оно перевёрнутое. Ну и, в-третьих, как можно видеть из построения, оно уменьшенное.

Обратите внимание, что если предмет расположен перпендикулярно главной оптической оси, то и его изображение также будет перпендикулярно ей. Зная это, мы сможем построить изображение точки В просто опустив перпендикуляр из точки А₁ на главную оптическую ось, что мы и будем делать в дальнейшем.

Продолжим опыт. Поставим свечу на расстоянии, равному двойному фокусному.

Перемещая экран, мы увидим на нём действительное, перевёрнутое изображение пламени свечи, но размер его будет равен размеру пламени самой свечи. Сделайте сами построение изображения для этого случая.

Как видим, и вправду оно у нас получилось действительным, перевёрнутым и равным по высоте предмету.

Передвинем свечу так, чтобы она находилась между первым и вторым фокусом линзы (F < d < 2F). На экране мы увидим действительное, перевёрнутое, увеличенное изображение пламени свечи. Докажем и этот случай построением.

Теперь передвинем нашу свечу так, чтобы она находилась в главном фокусе линзы — изображения нет. Проверим это построением.

Как видим, преломлённые линзой лучи не пересекаются, как и не пересекаются их продолжения. Следовательно, изображения в этом случае действительно отсутствует.

И, наконец, поставим свечу между главным фокусом и линзой. Изображения свечи и в этом случае не видно. Давайте построим ход лучей в линзе для этого случая.

Как видим, преломлённые лучи расходятся. Но вот их продолжения пересекаются. Поэтому изображение предмета будет мнимым, увеличенным, прямым и находиться со стороны изображаемого предмета. Именно так и работает увеличительное стекло, используемое людьми для рассмотрения мелких объектов.

При построении изображения предметов в рассеивающей линзе поступают точно так же, как и в случае с собирающей. Единственное отличие состоит в том, что у рассеивающей линзы фокус мнимый.

Поэтому изображение, даваемое рассеивающей линзой, всегда мнимое, прямое, уменьшенное и находится между линзой и её фокусом со стороны изображаемого предмета.

Теперь давайте выведем формулу, которая свяжет три величины — расстояние от предмета до линзы, расстояние от линзы до изображения и фокус линзы. Все размышления, которые мы будем проводить для собирающей линзы, справедливы и для линзы рассеивающей.

В общем же виде формула тонкой линзы записывается следующим образом: сумма величин, обратных расстояниям от предмета до линзы и от линзы до изображения, равна величине, обратной фокусному расстоянию:

Для практического использования формулы тонкой линзы нам следует запомнить правило знаков:

·                   для собирающей линзы, действительных источника и изображения, фокусное расстояние, расстояние от предмета до линзы и от линзы до изображения считают положительными;

·                   для рассеивающей линзы, мнимых источника и изображения, фокусное расстояние, расстояние от предмета до линзы и от линзы до изображения считают отрицательными.

Как вы могли заметить, чаще всего, изображение, получаемое с помощью тонкой линзы, отличается своими размерами от предмета. Так вот, это различие между размерами предмета и размерами его изображения принято характеризовать линейным (или поперечным) увеличением линзы.

Линейное увеличение линзы равно отношению линейного размера изображения к линейному размеру предмета:

Если вернуться к нашему рисунку для вывода формулы тонкой линзы, то из подобия ΔAOB и ΔA₁OB₁ следует:

Тогда можно записать, что линейное увеличение линзы равно отношению расстояния от линзы до изображения к расстоянию от предмета до линзы: