Монета и игральная кость в теории вероятностей

Попытка изучать изменчивость и случайность с помощью математики привела к появлению теории вероятностей.

Напомним, что основными понятиями теории вероятностей являются случайные опыты и случайные события, которые происходят в этих опытах.

Некоторое событие называют случайным, если нельзя утверждать, что в данных обстоятельствах оно непременно произойдёт. Случайный опыт (случайный эксперимент) – это условия и обстоятельства, в которых рассматриваются случайные события.

Также напомним, что в теории вероятностей шансы того, что случайное событие произойдёт, выражают числом от 0 до 1 и называют вероятностью случайного события.

Если событие никогда не наступает (то есть его шансы равны 0), то вероятность этого события полагают равной 0. Такое событие называют невозможным.

Если событие наступает всегда, его вероятность полагают равной 1. Такое событие называют достоверным.

Вероятность случайного события – это числовая мера правдоподобия этого события.

Отношение числа опытов, в которых случайное событие произошло, к общему числу проведённых одинаковых опытов называется частотой случайного события в этой серии опытов.

Частота события близка к его вероятности. Этот факт связывает теорию вероятностей с практикой. Он позволяет оценивать вероятности с помощью опытов и прогнозировать частоты наступления событий, зная их вероятности.

Поскольку теория вероятностей изучает случайные события в случайных экспериментах, слово «случайное» часто опускают.

Долгое время теория вероятностей развивалась как исчисление шансов в играх. Многие важные факты теории вероятностей были получены в опытах с обычными монетами и игральными кубиками. Конечно, гораздо важнее и интереснее описывать случайные события, которые возникают в природе, технике, общественной жизни, чем вычислять шансы выигрышей или редких игровых комбинаций. Однако монета и игральный кубик не только не ушли из теории вероятностей, но и продолжают играть важную роль в её развитии как науки.

С помощью монеты, игрального кубика и других простых игровых моделей можно изучать сложные случайные явления.

Итак, давайте поговорим о монете.

Математическая монета, которая используется в теории вероятностей, лишена многих качеств настоящей монеты. У этой монеты нет цвета, размера, веса и достоинства. Она не сделана ни из какого материала и не может служить платёжным средством.

С точки зрения теории вероятностей математическая монета имеет две стороны, одна из которых называется орлом, а другая – решкой.

Математическая монета считается симметричной. Это означает, что брошенная монета имеет равные шансы выпадения орла или решки. При этом подразумевается, что никакой другой исход бросания монеты невозможен (она не может потеряться, закатиться в угол, и, тем более, не может «встать на ребро»).

Подбрасывание монеты – случайный эксперимент, который может окончится либо выпадением орла, либо выпадением решки. Всего 2 события, одно из которых обязательно произойдёт.

Подбрасывание монеты 2 раза – другой случайный эксперимент. Он может окончится одним из 4 вариантов (исходов): оба раза выпадет орёл; первый раз выпадет орёл, а второй раз – решка; первый раз выпадет решка, а второй раз – орёл; оба раза выпадет решка. В данном случае 2 исхода первого броска комбинируются с 2 возможными исходами второго. Таким образом, получается 2 2, то есть 4 исхода.

Подбрасывание монеты 3 раза – ещё один случайный эксперимент, который может окончится одним из 8 исходов.

Название «орёл» для лицевой стороны (аверса) монеты происходит оттого, что на ней чаще всего изображён герб Российского государства – двуглавый орёл.

Впервые на монетах орёл появился при великом князе Иване III.

По одной из версий, название «решка» для оборотной стороны (реверса) монеты возникло потому, что в древности при чеканке монету клали на решётчатую наковальню, чтобы она не скользила при ударе. Решётка отпечатывалась на реверсе монеты. Несмотря на то, что в настоящее время на реверсе чеканят номинал монеты, название «решка» сохранилось.

Конечно же, в отличие от математической монеты, настоящая монета не идеальна. Она может иметь дефекты, которые влияют на результат броска. Например, быть немного вогнутой. Тем не менее, чтобы проверить на практике опыты с бросанием математической монеты, бросали и будут бросать обычную монету (конечно, без явных дефектов).

Следует отметить, что часто монета помогает людям в сложной ситуации сделать выбор, положившись только на случай. Например, перед началом футбольного матча судья бросает монету, чтобы решить, какая команда получит право начать игру.

Теперь поговорим об игральной кости, которая имеет непростую историю.

Игры с костями были известны в глубокой древности в Индии, Китае, Лидии, Египте, Греции и Риме. Игральные кости находили при раскопках древних захоронений в Египте и Китае. Очки на гранях древнеегипетских костей часто изображались в виде птичьего глаза.

Древние кубики были далеки от идеальной кубической формы. Их грани имели неодинаковый размер, а углы часто были скошены.

В Древней Руси существовали забавы с костями животных. Они носили такие названия, как лодыжки, козули, костыги. Скорее всего отсюда и пошло название игрального кубика – «кость».

В теории вероятностей игральный кубик (или шестигранная игральная кость) служит отличным средством для получения случайных событий.

Правильные (симметричные) кости обеспечивают одинаковые шансы выпадения каждой грани. Для этого все грани должны быть плоскими, одинаково гладкими и иметь одинаковую площадь. Сумма очков на противоположных гранях правильной кости равна 7 (это сделано для того, чтобы затруднить жульничество при игре).

Математическая игральная кость, которая обсуждается и используется в теории вероятностей, – это математический образ правильной кости. Выпадения всех граней равновозможны.

Игральный кубик бросают 1 раз – случайный эксперимент, в котором может произойти 1 из 6 простейших равновозможных случайных событий.

Игральный кубик бросают 2 раза – также случайный эксперимент, но уже более сложный. Этот эксперимент может окончиться 1 из 36 исходов, которые удобно изображать с помощью таблицы размером 6 на 6клеточек.

Номер строки – результат первого броска. Номер столбца – результат второго броска.

Например, если при первом броске выпало 4 очка, а при втором броске – 5 очков, то в таблице это можно изобразить, закрасив соответствующую клеточку.

Друзья, наше занятие подошло к концу. Вы узнали об истории названий «орёл» и «решка» и об игральных костях. А также выяснили, в чём заключается разница между настоящими и математическими монетами и костями.

До встречи на наших следующих занятиях!