Вероятности и частоты событий

Друзья, прежде чем приступить к изучению новой темы, напомним, что некоторое событие называют случайным, если нельзя утверждать, что в данных обстоятельствах оно непременно произойдёт. Примеры случайных событий можно приводить бесконечно. Так, например, невозможно предсказать длительность начавшегося или будущего телефонного разговора, нельзя знать, сколько ошибок сделает ученик в предстоящей контрольной работе, при бросании игральной кости невозможно предсказать, какая из 6 граней выпадет, невозможно предвидеть число крупных пожаров в некотором городе на будущей неделе, не получится предвидеть, на какой билет лотереи выпадет главный выигрыш, и множество других событий.

Получается, что о случайном событии мы не можем сказать заранее, произойдёт оно в некотором случайном эксперименте или нет. Но мы можем говорить о шансах наступления этого события.

Давайте представим, что Саша и Петя обсуждают будущую встречу двух хоккейных команд. Саша говорит, что шансы команд А и Б на победу относятся как 1 к 2. То есть он считает победу команды Б вдвое более вероятной, чем победу команды А. В подтверждение своего мнения Саша говорит, что команды А и Б встречались уже много раз и при этом команда Б побеждала примерно в 2 раза чаще, чем команда А. Поэтому вероятность победы команды А равна , а вероятность победы команды Б равна .

При бросании игрального кубика шансы выпадения 6 такие же, как шансы выпадения 1 или любой другой грани (2, 3, 4 или 5). А вот шансы событий «выпадет 6» или «не выпадет 6» относятся как 1 к 5.

При бросании на стол симметричной монеты шансы событий «орёл» и «решка» считают одинаковыми (поскольку монета симметрична).

Некоторые случайные события происходят очень редко. Поэтому мало шансов, что они произойдут. Например, маловероятно, что 31 декабря будет гроза. Конечно же, есть случайные события, которые происходят очень часто (почти всегда.)

В теории вероятностей шансы того, что случайное событие произойдёт, выражают числом от 0 до 1 и называют вероятностью случайного события.

Если событие никогда не наступает (то есть его шансы равны 0), то вероятность этого события полагают равной 0. Такое событие называют невозможным.

Если же событие наступает всегда, его вероятность полагают равной 1. Такое событие называют достоверным.

Вероятность случайного события – это числовая мера правдоподобия этого события.

Иногда вероятности событий можно рассчитывать математически, но часто приходится их оценивать, то есть приближённо находить с помощью частот, повторяя один и тот же случайный опыт много раз.

Пусть один и тот же опыт был проведён 100 раз, и некоторое событие А произошло 37 раз. Отношение числа тех опытов, в которых произошло событие А, к общему числу проведённых опытов равно 0,37.

В данном случае число 0,37 является частотой события А.

Отношение числа опытов, в которых случайное событие произошло, к общему числу проведённых одинаковых опытов называется частотой случайного события в этой серии опытов.

Если событие не наступило ни разу, то его частота равна 0. Но это не значит, что оно невозможно. Может быть, в следующей серии таких же опытов это событие всё же случится. Если событие наступило во всех опытах, то частота этого события равна 1.

Важно отметить, что вероятности и частоты связаны. Если опыт повторять достаточно много раз, то почти наверняка окажется, что частота события близка к его вероятности. Получается, что если мы знаем вероятность события, то можем сказать, насколько часто это событие будет происходить в жизни.

Если вероятность какого-либо события равна 0,99, то в среднем это событие следует ожидать в 99 случаях из 100, то есть почти каждый раз. Если вероятность события равна 0,01, то это событие происходит примерно в 1 случае из 100, то есть очень редко и его частота будем мала. Такое событие называют маловероятным.

Отметим, что в практических ситуациях, когда опыт проводят 1 раз, маловероятные события считают невозможными.

Давайте рассмотрим такой пример. Предположим, что при определённых погодных условиях в некоторой местности вероятность выпадения осадков равна 0,45, то есть при многократных повторениях упомянутых условий примерно в 45 % случаев выпадут осадки. Вероятность 0,45 достаточно высока, чтобы об этом предупредить население. И неважно, что эти осадки могут не выпасть. Лучше перестраховаться и предупредить жителей данной местности.

Говоря, что событие произойдёт примерно в 45 случаях из 100, мы не можем утверждать, что оно непременно случится 45 раз из 100 возможных. Оно может произойти 43, 44, 45, 46 или 47 раз. Оно может произойти даже 30 или 65 раз в какой-либо серии из 100 опытов. Но такие серии опытов будут встречаться довольно редко.

Если вероятность события равна 0,45, то не следует ожидать его появления, например, 1 раз из 100 или 99 раз из 100. В данном случае прогноз от 43 до 47 раз можно считать весьма разумным. Вот только как и в каких случаях устанавливают эти разумные границы прогноза – сложный вопрос, ответить на который часто можно с помощью теории вероятностей.

Ещё раз отметим, что частота события близка к его вероятности. Этот факт связывает теорию вероятностей с практикой. Он позволяет находить вероятности с помощью опытов и предсказывать частоты наступления событий по их вероятностям.

А теперь выполним задание. Бросают игральный кубик, на гранях которого числа от 1 до 6. Какие из перечисленных событий являются достоверными, а какие – невозможными?

Решение.

Событие «Выпадет от 1 до 6 очков» является достоверным, так как на гранях игрального кубика числа от 1 до 6.

Событие «Выпадет целое число очков» также является достоверным, ведь числа 1, 2, 3, 4, 5 и 6 – целые.

Событие «Выпадет больше 3, но меньше 6 очков» возможно, но не является достоверным.

То же самое можно сказать и про событие «Выпадет чётное число очков». Оно возможно, но не является достоверным.

А вот событие «Выпадет 7 очков» является невозможным, потому что на гранях игрального кубика только числа от 1 до 6.

Друзья, на этом мы закончим наш урок. До встречи на следующих занятиях!