Бордюры

На прошлом занятии мы с вами говорили о симметрии. С симметрией мы постоянно встречаемся в повседневной жизни. Она встречается в природе.

«Симметрия… есть идея, с помощью которой человек веками пытался объяснить и создать порядок, красоту и совершенство». Эти слова принадлежат Герману Вейлю – известному немецкому математику и физику-теоретику.

Наверное, каждый из вас умеет вырезать снежинки из бумаги.

Берётся лист бумаги, чаще квадратный (но можно и круг), складывается вдвое по диагонали. Полученный таким образом равнобедренный треугольник складывается пополам так, чтобы совпали боковые стороны. Новый треугольник складывается ещё раз. Можно продолжить складывать дальше.

Теперь в сложенной бумаге ножницами вырезается узор так, чтобы одновременно было прорезаны все слои бумаги. Форма вырезанного узора может быть какой угодно.

Затем разворачиваем и получаем вот такую снежинку.

У неё 4 оси симметрии.

У настоящих, природных снежинок всегда 6 осей симметрии.

Изобразим круг на листе бумаги и разделим его на 12 равных частей. Сложим его по диаметрам в любом порядке. Нарисуем узор.

Вырежем его. Развернём и получим снежинку, у которой 6 осей симметрии.

Снежинки, которые вы сейчас видите, имеют 6 осей симметрии.

Из бумаги можно вырезать и очень красивые симметричные ленты. Давайте возьмём полоску бумаги шириной 5 см и длиной 20 см. Сложим её гармошкой. Нарисуем какой-нибудь рисунок так, чтобы он касался линии сгиба. Затем вырежем нарисованную фигуру. При этом участки на линиях сгиба оставляем неразрезанными.

Теперь развернём полученную гармошку. У нас получилось вот такое кружево.

Сейчас возьмём бумажную ленту и сложим её сначала вдвое вдоль, а затем гармошкой. Нарисуем узор, а затем вырежем его.

Теперь развернём гармошку. У нас получилась лента, симметричная относительно горизонтальной оси.

Это потому, что вначале мы сложили ленту вдвое вдоль.

Орнаменты в виде лент называют бордюрами. Бордюры часто используются в архитектуре и декоративном искусстве. Их применяют маляры при оформлении комнат, зданий.

Для выполнения орнаментов изготавливают трафарет. Он представляет собой рисунок, вырезанный на листе картона или какого-нибудь другого плотного материала.

Маляр передвигает трафарет, переворачивая или не переворачивая его, обводит контур, повторяя рисунок, и получает орнамент.

Можно сказать, что орнамент – это объединение правильно повторяющихся равных фигур. Орнамент в переводе с латинского означает «украшение».

В качестве образующей фигуры художники и архитекторы используют мотивы растительной, животной и геометрической тематики.

Давайте вырежем несимметричный трафарет.

Будем передвигать его вправо на расстояние, равное ширине трафарета (такое преобразование называется параллельным переносом). В результате получим вот такой бордюр…

Если мы будем каждый раз отражать трафарет симметрично относительно вертикальной оси, то получим вот такой бордюр…

Если трафарет поворачивать вокруг точки О (центра симметрии) на , то бордюр будет выглядеть так…

Отражение относительно горизонтальной оси и последующий параллельный перенос трафарета даст нам ещё один орнамент…

Сейчас вы видите трафарет, симметричный относительно вертикальной оси.

Будем передвигать его вправо на расстояние, равное ширине трафарета, то есть выполнять параллельный перенос. Получим вот такой бордюр…

Отражаясь симметрично относительно вертикальной оси, данный трафарет даст такой бордюр…

Обратите внимание, что эти два преобразования дают одинаковые бордюры.

Если мы будем трафарет поворачивать вокруг центра симметрии (точки О) на , то бордюр будет следующим…

Отражением относительно горизонтальной оси и последующим параллельным переносом трафарета получим вот такой бордюр…

Эти два преобразования тоже дают одинаковые бордюры.

Теперь давайте возьмём трафарет, который симметричен относительно горизонтальной оси.

Будем передвигать его вправо на расстояние, равное ширине трафарета (выполнять параллельный перенос). Получим вот такой бордюр…

Отражаясь симметрично относительно вертикальной оси, данный трафарет даст следующий бордюр…

Переворачивая трафарет вокруг центра симметрии (точки О) на , получим вот такой бордюр…

Последние два орнамента получились одинаковыми.

Теперь отражением относительно горизонтальной оси и последующим параллельным переносом трафарета, мы получим вот такой орнамент…

Такой же орнамент у нас получился при параллельном переносе.

Сейчас вы видите трафарет, рисунок которого совпадает сам с собой при повороте его на  вокруг центра (точки, которая лежит внутри рисунка).

Посмотрите, какой орнамент получается при параллельном переносе этого трафарета...

При зеркальной симметрии относительно вертикальной оси…

При повороте на  вокруг точки О (центра симметрии) …

И при отражении относительно горизонтальной оси и последующем параллельном переносе трафарета…

При этом обратите внимание, что орнаменты получились одинаковыми при первом и третьем преобразованиях, а также при втором и четвёртом.

И рассмотрим ещё один трафарет. Он имеет две оси симметрии – вертикальную и горизонтальную.

Повторим с ним все преобразования.

Выполним параллельный перенос данного трафарета…

Зеркальную симметрию относительно вертикальной оси…

Поворот на  вокруг точки О…

Отражение относительно горизонтальной оси и последующий параллельный перенос…

Все бордюры получились одинаковыми.

Итак, мы с вами рассмотрели пять видов трафаретов. Изобразим их схематично следующим образом:

Сейчас внимательно посмотрим на следующий бордюр.

Он получен вот из такого трафарета, если выполнять симметрию относительно горизонтальной оси и параллельный перенос.

На Руси люди старались украсить терема, церкви. Они придумывали удивительные замысловатые орнаменты, в основном цветочные.

В 17 веке русский зодчий Степан Иванов создал свой орнамент, который назвал «Павлинье око». Этот орнамент очень похож на рисунок пера павлиньего хвоста.

Давайте ещё раз напомним, какие преобразования мы использовали для создания линейных орнаментов бордюров.