Сложение и умножение вероятностей

Пример

В коробке находится 17 шаров: 10 белых, 4 зелёных и 3 жёлтых. Из коробки наугад вынимают один шар. Рассмотрим события:

событие А – шар оказался зелёным;

событие В – шар оказался жёлтым.

События А и В не могут произойти одновременно. Поэтому говорят, что события А и В являются несовместными.

Два события называются несовместными, если в одном и том же испытании они не могут произойти одновременно, то есть наступление одного из них исключает наступление другого.

Пусть событие С означает, что извлечённый из коробки шар оказался не белым (то есть зелёным или жёлтым).

Давайте выясним, как вероятность события С связана с вероятностями каждого из событий А и В. Для этого найдём вероятности событий А, В и С.

Для каждого испытания (то есть извлечения из коробки одного шара) равновозможными являются 17 исходов. Из них для события А благоприятными являются 4 исхода. А значит, .

Для события В благоприятными являются 3 исхода. Значит, .

Для события С, которое означает, что извлечённый из коробки шар оказался зелёным или жёлтым, благоприятными являются 7 исходов. Следовательно, .

Обратите внимание, что вероятность события С равна сумме вероятности события А и вероятности события В.

Получается, что если событие С означает, что наступает одно из двух несовместных событий А или В, то вероятность события С равна сумме вероятностей событий А и В.

Пример

На карточках написали натуральные числа от 1 до 10 включительно, после чего карточки перевернули и перемешали. Затем наугад открыли одну карточку. Какова вероятность того, что на ней написано простое число или число, большее 8?

Пусть событие А означает, что на карточке написано простое число.

Напомним, что простое число – это натуральное число, большее 1, которое имеет ровно два натуральных делителя: 1 и само себя.

Тогда для события А благоприятными являются 4 исхода из 10 равновозможных: написано число 2, написано число 3, написано число 5, написано число 7. Получается, что .

Пусть событие В означает, что на карточке написано число, большее 8. Для этого события благоприятными являются 2 исхода из 10 равновозможных: написано число 9, написано число 10. (Обратите внимание, что числа 9 и 10 являются составными). .

Нам нужно найти вероятность того, что на карточке написано простое число или число, большее 8.

Пусть событие С – на карточке написано простое число или число, большее 8.

Событие С наступает тогда, когда наступает одно из событий А или В.

События А и В являются несовместными, так как наступление одного из них исключает наступление другого. А значит, вероятность события С равна сумме вероятностей событий А и В.

Таким образом, мы с вами ответили на поставленный вопрос.

При решении некоторых задач бывает удобно воспользоваться свойством вероятностей взаимно противоположных событий.

Выясним, какие события называют взаимно противоположными на примере бросания игрального кубика.

Игральный кубик, о котором говорят и который используют в теории вероятностей, – это математический образ правильного игрального кубика. Выпадения всех его граней равновозможны.

Игральный кубик бросают один раз – случайный эксперимент, в котором может произойти 1 из 6 простейших равновозможных случайных событий: выпадет 1 очко, 2 очка, 3 очка, 4 очка, 5 очков или 6 очков.

Пусть событие А означает, что выпало 6 очков, а событие В означает, что выпало менее 6 очков.

Так как наступление события А означает ненаступление события В, а ненаступление событие А означает наступление события В, то говорят, что события А и В – противоположные события.

Найдём вероятности событий А и В.

Для события А благоприятным является 1 исход из 6 равновозможных. А значит, .

Для события В благоприятными являются 5 исходов из 6 равновозможных. Следовательно, .

Сложим вероятности событий А и В. Получим 1.

Получается, что сумма вероятностей взаимно противоположных событий равна 1.

Действительно, пусть проводится некоторое испытание и рассматриваются два события: событие А и противоположное ему событие, которое принято обозначать .

События А и  – несовместные события, то есть в одном и том же испытании они не могут произойти одновременно. Событие, означающее наступление хотя бы одного из них, то есть А или , является достоверным событием. Вероятность достоверного события равна 1. Следовательно, сумма вероятностей двух противоположных событий равна 1.

Пример

Выясним, какова вероятность того, что при бросании двух игральных кубиков сумма очков, выпавших на двух кубиках, не больше 10.

Данное испытание может окончиться одним из 36 равновозможных исходов, которые удобно изображать с помощью таблицы размером 6 на 6 клеточек. Номер строки – число очков, выпавших на одном кубике. Номер столбца – число очков, выпавших на другом кубике.

Пусть событие А означает, что сумма очков, выпавших на двух кубика, не больше 10.

Обратите внимание, что благоприятным для события А является большее число исходов. А значит, сначала нам будет удобно найти вероятность противоположного ему события, то есть события .

Событие , что сумма выпавших очков больше 10. Благоприятными для этого события являются 3 исхода. Поэтому .

События А и  являются противоположными. А значит, сумма их вероятностей равна 1. Тогда вероятность события А можно найти как разность 1 и вероятности события .

Теперь поговорим, как можно вычислить вероятность события, состоящего в совместном появлении двух независимых событий.

Два события называются независимыми, если наступление одного из них не влияет на вероятность наступления другого события.

Пример

Пусть в одном из двух ящиков находится 15 деталей, из которых 4 бракованные, а в другом – 20 деталей, из которых 7 бракованные. Из каждого ящика наугад вынимают по одной детали. Выясним, какова вероятность того, что обе детали окажутся бракованными.

Рассмотрим события:

событие А – из первого ящика вынимают бракованную деталь;

событие В – из второго ящика вынимают бракованную деталь.

Для события А благоприятными являются 4 события из 15. А значит .

Для события В благоприятными являются 7 событий из 20. А значит .

События А и В являются независимыми, поскольку наступление одного из них не влияет на вероятность наступления другого.

Рассмотрим событие С, которое состоит в совместном появлении событий А и В.

Общее число равновозможных исходов испытания, в которых событие С наступает или не наступает, равно произведению 15 и 20, так как каждому из 15 извлечений детали из первого ящика соответствует 20 возможностей извлечения детали из второго ящика.

Благоприятными для события С являются те исходы, при которых обе вытянутые детали являются бракованными. Каждому из 4 возможных извлечений бракованной детали из первого ящика соответствует 7 возможностей извлечения нестандартной детали из второго ящика, то есть число исходов, которые благоприятствуют событию С, равно произведению 4 и 7.

Получается, что вероятность события С равна произведению вероятности события А и вероятности события В.

Если событие С означает совместное наступление двух независимых событий А и В, то вероятность события С равна произведению вероятностей событий А и В.

Пример

В непрозрачной мешке лежат 9 шаров с номерами от 1 до 9 включительно. Из мешка наугад вынимают один шар, записывают его номер и возвращают шар в мешок. Затем опять вынимают шар и записывают его номер. Выясним, какова вероятность того, что оба раза будут вынуты шары, номера которых являются составными числами.

Напомним, что составное число – это натуральное число, большее 1, которое имеет больше двух делителей.

Пусть событие А состоит в том, что в первый раз вынут шар, номер которого является составным числом. Для события А благоприятными являются 4 исхода из 9 равновозможных, так как из первых 9 натуральных чисел 4 числа являются составными. Тогда .

Пусть событие В состоит в том, что во второй раз вынут шар, номер которого является составным числом. Для события В благоприятными также являются 4 исхода из 9 равновозможных. Тогда .

Рассмотрим событие С, которое состоит в том, что оба раза вынуты шары, номера которых являются составными числам.

Извлечённый в первый раз шар был возвращён в мешок, а значит, на повторное извлечение шара не влияет то, какой шар был вынут в первый раз. Следовательно, событие В не зависит от события А.

Тогда вероятность события С найдём как произведение вероятностей событий А и В.

Следует отметить, что если бы после первого извлечения шар не возвращался обратно в мешок, то события А и В были бы зависимыми.

Действительно так, ведь после первого извлечения шара в мешке осталось бы 8 шаров. Если в первый раз был извлечён шар, номер которого составное число, то . А если в первый раз был извлечён нар, номер которого не составное число, то .

Пример

Вероятность попадания в мишень одного стрелка равна 0,8, а другого – 0,7. Каждый из стрелков сделал по одному выстрелу по мишени. Давайте найдём вероятность того, что мишень будет поражена.

Рассмотрим события:

событие А – первый стрелок попал в мишень;

событие В – второй стрелок попал в мишень;

событие С – мишень поражена.

Несмотря на то что события А и В являются независимыми, воспользоваться умножением их вероятностей для нахождения вероятности события С мы не можем, так как событие С наступает не только тогда, когда оба стрелка попали в мишень, но и тогда, когда в мишень попал хотя бы один из них.

Рассмотрим события, противоположные событиям А, В и С. События  и  являются независимыми, так как промах первого стрелка не зависит от промаха второго стрелка. Событие  означает совместное появление событий  и . Тогда его вероятность равна произведению вероятностей событий  и .

Вероятность события А равна 0,8.

Вероятность события B равна 0,7.

События C и  являются противоположными, а значит, .

Получается, что мишень будет поражена с вероятностью .

До встречи на следующих занятиях!