Симметрия в пространстве

Материал урока.

Начать наш сегодняшний урок хочется словами немецкого математика Германа Вейля: «Симметрия, как бы широко или узко мы не понимали это слово, есть идея, с помощью которой человек пытался объяснить и создать порядок, красоту и совершенство».

Симметрия – один из законов, обеспечивающих гармонию вселенной. Именно о симметрии мы сегодня и поговорим.

Слово симметрия происходит от древнегреческих слов «сим» – совместно и «метрио» – измеряю.

Это понятие для нас уже знакомое – в планиметрии мы уже говорили о центральной и осевой симметриях. Давайте вспомним, что фигура называется симметричной относительно прямой a, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой a также принадлежит этой фигуре. Прямая a называется осью симметрии фигуры. Про такую фигуру говорят, что она обладает осевой симметрией.

Давайте приведем примеры таких фигур из жизни и геометрии. Например, бабочка обладает осью симметрии. У бабочки крылья симметричны относительно брюшка, кленовый лист симметричен относительно одной из центральных жилок. Вообще в нашей жизни очень много примеров осевой симметрии. В геометрии к фигурам с осевой симметрией относятся: прямоугольник, равнобедренный треугольник, ромб и другие.

Напомним, что фигура называется симметричной относительно точки О, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки О также принадлежит этой фигуре. Точка О называется центром симметрии фигуры.

Примерами центрально симметричных фигур можно назвать некоторые цветы. В геометрии яркими примерами центрально симметричных фигур являются окружность (центр симметрии – центр окружности) и параллелограмм (центром симметрии является точка пересечения диагоналей).

В стереометрии мы будем говорить о симметрии относительно точки, прямой и плоскости.

Точки А и A₁ называются симметричными относительно точки О, если О – середина отрезка AA₁. Точка О называется центром симметрии. Точка О считается симметричной сама себе.

Точки А и А₁ называются симметричными относительно прямой a, если прямая a проходит через середину отрезка AA₁ и перпендикулярна к этому отрезку. Прямая  a называется осью симметрии. Каждая точка прямой А считается симметричной самой себе.

Точки А и A₁ называются симметричными относительно плоскости α, если плоскость α проходит через середину отрезка AA₁ и перпендикулярна к этому отрезку. Плоскость α называется плоскостью симметрии.

Каждая точка плоскости α считается симметричной самой себе.

Теперь давайте введем понятия центра, оси и плоскости симметрии фигуры.

Точка, прямая или плоскость называется соответственно центром, осью или плоскостью симметрии фигуры, если каждая точка фигуры симметрична относительно нее некоторой точке той же фигуры. Если фигура имеет центр, ось или плоскость симметрии, то, говорят, что она обладает центральной, осевой или зеркальной симметрией.

Например, если рассмотреть прямоугольный параллелепипед, то у него есть центр симметрии – точка пересечения диагоналей параллелепипеда, ось симметрии, и плоскости симметрии.

Фигура может иметь один или несколько центров симметрии, осей симметрии, плоскостей симметрии.

Есть фигуры, которые имеют бесконечно много центров, осей или плоскостей симметрии. Простейшими такими фигурами будут плоскость и прямая.

Но есть фигуры, у которых нет ни центров, ни осей ни плоскостей симметрии. Например, произвольная призма и пирамида, если они не являются прямыми или правильными не имеют ни осей, ни центров, ни плоскостей симметрии.

В таких случаях говорят об асимметрии. Термин асимметрия обозначает отсутствие симметрии.

В жизни очень много примеров симметрии: в архитектуре, быту, биологии.

Почти все кристаллы, которые встречаются в природе, имеют центр, ось и плоскость симметрии.

В геометрии центр, ось и плоскость симметрии многогранника называются элементами симметрии этого многогранника.

Но природа загадала очень много загадок. Например, зачем она дублировала некоторые части в наших организмах: ноги, руки, некоторые внутренние органы.

Глядя на лицо человека, можно предположить, что наши лица симметричны, но на самом деле человек асимметричен.

Компьютерные программы сегодня предоставляют широкую возможность убедится в этом. Например, если взять правую половину лица, отразить ее зеркально и составить из получившихся частей целое лицо, потом проделать такую же операцию с левой половиной лица, то лица получатся абсолютно разные. Почему так происходит? Никто не даст вам точного ответа. Как не ответят вам на вопрос: почему на лице глаза парные, а нос и рот нет. Это загадки природы.

Выполним несколько практических заданий.

Задача. Даны три точки ,  и . Построить точку, симметричную точке  относительно середины отрезка .

Построение:

Задача. Какие из букв , , , ,  имеют центр симметрии?

Решение:

Решим еще одну задачу.

Задача. Даны две точки  и , симметричные относительно некоторой прямой, и точка . Построить точку, симметричную точке  относительно той же прямой.

Построение:

Задача. Какие из букв , Б, Г, Е имеют ось симметрии?

Решение:

Подведем итоги урока:

Сегодня на уроке мы рассмотрели симметрию относительно точки, прямой и плоскости.