Понятие правильного многогранника

Материал урока.

Многогранники являются геометрическими телами, совершенство, красота и гармония которых удивляет и завораживает глаза. Многогранники окружают нас в жизни повсюду. Их создают люди своими руками, их создает природа.

Прежде чем мы перейдем к изучению вопросов о правильных многогранниках, напомним некоторые уже известные вам понятия.

Вообще,многогранник представляет собой геометрическое тело, ограниченное конечным числом плоских многоугольников, любые два смежные из которых не лежат в одной плоскости.

Назовем элементы многогранника.

Многоугольники, из которых составлен многогранник, называют его гранями. Заметим, что никакие две соседние грани многогранника не лежат в одной плоскости.

Стороны граней называются ребрами многогранника. А концы ребер – вершинами многогранника.

Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани – называется диагональю многогранника.

Также элементами многогранника называют углы его граней и углы между гранями.

По числу граней различают четырехгранники, пятигранники, шестигранники и т.д.

Многогранники, также как и многоугольники бывают выпуклыми и невыпуклыми. Смотрите, если провести плоскость черезкакую-нибудь грань, то весь многогранник будет лежать по одну сторону от этой плоскости. Аналогично, если провести плоскости и через остальные его грани, многогранник всегда будет расположен по одну сторону от этих плоскостей. Такой многогранник называется выпуклым. Напомним определение: многогранник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от плоскости каждой своей грани.

Если это условие не выполняется, т.е. многогранник лежит по разные стороны хотя бы от одной плоскости, проходящей через грань, то многогранник называется невыпуклым.

На рисунке изображен пример невыпуклого многогранника. Если провести, например, плоскость через указанную грань, то видно, что одна часть многогранника расположена по одну сторону, а вторая его часть по другую сторону этой плоскости.

Легко заметить, что все грани выпуклого многогранника являются выпуклыми многоугольниками.

Вам уже знакомы такие словосочетания, как «правильная призма», «правильная пирамида». Оказывается, эти словосочетания, знакомых вам понятий, образуют совершенно новое с геометрической точки зрения понятие.

Определение. Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани – равные правильные многоугольники и в каждой его вершине сходится одно и то же число ребер.

Существует и другое определение правильного многогранника. Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани равные правильные многоугольники и двугранные углы при всех ребрах равны между собой.

Оба эти определения используются в математике как равноправные.

Вообще существует пять видов правильных многогранников. Два из них мы уже знаем – это куб и тетраэдр.

Куб в ряду правильных многогранников называют гексаэдром. Все грани куба –равные квадраты (правильные четырехугольники), а в каждой его вершине сходятся три ребра.

Многогранник, вершинами которого являются концы двух скрещивающихся диагоналей противолежащих граней куба, также является правильным. Каждая его грань – равносторонний треугольник, а в каждой вершине сходятся три ребра. Это тетраэдр.

Очевидно, все ребра правильного многогранника равны друг другу.

Мы с вами уже отметили, что существует только пять видов правильных многогранников. Для того чтобы установить это, заметим, что можно доказать следующее свойство: в выпуклом многограннике сумма всех плоских углов при каждой вершине меньше 360°.

Докажем, что не существует правильного многогранника, гранями которого являются правильные 6, 7 и вообще n-угольники при n≥6.

С другой стороны, при каждой вершине многогранника должно быть не менее 3 плоских углов. Поэтому если бы существовал правильный многогранник, гранями которого являются правильные n-угольники при n≥6, то сумма всех плоских углов при каждой вершине была бы не меньше чем 120°·3=360°. Но это невозможно, так как сумма всех плоских углов при каждой вершине выпуклого многогранника меньше 360°.

Что и требовалось доказать.

Сделаем вывод: каждая вершина правильного многогранника может быть вершиной:

- трех, четырех или пяти равносторонних треугольников;

- трех квадратов;

- трех правильных пятиугольников.

Таким образом, существуют следующие пять видов правильных многогранников: тетраэдр, гексаэдр (или куб), октаэдр, икосаэдр, додекаэдр.

Рассмотрим каждый из них.

Правильный тетраэдр составлен из 4 равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной трех треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 180°.

Правильный октаэдр составлен из 8 равносторонних треугольников. Каждая вершина октаэдра является вершиной четырех треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 240°.

Правильный икосаэдр составлен из 20 равносторонних треугольников. Каждая вершина икосаэдра является вершиной 5 треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 300°.

Гексаэдр (или куб) составлен из 6 квадратов. Каждая вершина куба является вершиной 3 квадратов. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 270°.

Правильный додекаэдр составлен из 12 правильных пятиугольников. Каждая вершина додекаэдра является вершиной 3 правильных пятиугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 324°.

В переводе с греческого тетраэдр, гексаэдр или куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр означают четырехгранник, шестигранник, восьмигранник, двенадцатигранник, двадцатигранник.

Других видов правильных многогранников, кроме перечисленных пяти, не существует.

Факт существования пяти правильных многогранников был установлен еще во времена древних греков. В Древней Греции пяти правильным многогранникам придавали особый мистический смысл. Впервые исследованные пифагорейцами эти пять правильных многогранников были впоследствии описаны Платоном и стали называться Платоновыми телами. Согласно Платону, атомы четырех основных элементов, из которых строится мир, имеют форму правильных многогранников. Тетраэдр символизировал огонь, поскольку его вершина устремлена вверх, как у разгоревшегося пламени. Икосаэдр – воду, так как самый «обтекаемый». Куб – землю, как самая устойчивая из фигур. Октаэдр – воздух, как самый «воздушный». А вся Вселенная, согласно Платону, имеет вид додекаэдра. Додекаэдр символизировал все мироздание, считался главным.

Большой интерес к формам правильных многогранников проявляли также скульпторы, архитекторы, художники. Их всех поражало совершенство, гармония многогранников. Леонардо да Винчи увлекался теорией многогранников и часто изображал их на своих полотнах.

Сальвадор Дали на картине «Тайная вечеря» изобразил Иисуса Христа со своими учениками на фоне огромного прозрачного додекаэдра.

Ярчайшим примером художественного изображения многогранников в XX веке являются, конечно, графические фантазии голландского художника Маурица Эшера. Правильные геометрические тела — многогранники — имели особое очарование для Эшера. В его многих работах многогранники являются главной фигурой и в еще большем количестве работ они встречаются в качестве вспомогательных элементов. На гравюре «Четыре тела» Эшер изобразил пересечение основных правильных многогранников, расположенных на одной оси симметрии, кроме этого многогранники выглядят полупрозрачными, и сквозь любой из них можно увидеть остальные.

Каждый правильный многогранник обладает определенными элементами симметрии. Например, прямая, проходящая через середины противолежащих ребер правильного тетраэдра, является его осью симметрии. Всего тетраэдр имеет три оси симметрии.

Интересно знать! Кристаллы поваренной соли имеют форму куба, а кристаллы пирита имеют форму додекаэдров.

Модели поверхностей правильных многогранников можно склеить из плотной бумаги или картона, воспользовавшись для этого развертками этих многогранников.

Помимо правильных многогранников существуют так называемые полуправильные многогранники. Это выпуклые многогранники, которые, не являясь правильными, имеют их некоторые признаки. Например: все грани равны, все грани являются правильными многоугольниками. К таким фигурам относятся, например,  кубоэктаэдр – фигура, гранями которой являются восемь правильных треугольников и шесть квадратов, или, например, курносый додекаэдр – фигура, которая состоит из восьмидесяти правильных треугольников и двенадцати правильных пятиугольников.

 Подобных многогранников существует 26.

Подведем итоги урока. На этом уроке мы познакомились с понятием правильного многогранника. Выявили, что существуют только пять видов правильных многогранников: тетраэдр, гексаэдр (или куб), октаэдр, икосаэдр и додекаэдр. А также рассмотрели каждый из них.