Формулы сложения

Прежде, чем приступить к рассмотрению новой темы, вспомним, что квадрат расстояния между точкой  и точкой  выражается следующей формулой: . Вспомним основное тригонометрическое тождество: , а также формулы, выражающие зависимость между синусами, косинусами, тангенсами и котангенсами противоположных углов: , , .

Теперь мы с вами познакомимся с формулами сложения. Давайте докажем, что для любых углов  и  справедливо равенство: .

Доказательство. Пусть на координатной плоскости изображена единичная окружность с центром в начале координат. Точка  совершает поворот на угол  и оказывается в точке . Затем точка  совершает поворот на угол  и оказывается в точке . И совершает поворот на угол  и оказывается в точке .

. По определению синуса и косинуса: ), ,.

Давайте рассмотрим треугольники  и . Эти треугольники равнобедренные, так как две стороны каждого из них являются радиусами нашей единичной окружности. При этом . Следовательно, рассматриваемые треугольники равны по двум сторонам и углу между ними, то есть по первому признаку равенства треугольников. А значит, основания этих равнобедренных треугольников равны, то . Квадраты этих оснований также равны: .

Применим к левой и правой частям последнего равенства формулу, выражающую квадрат расстояния между двумя точками: .

Преобразуем это выражение. В первую очередь воспользуемся известными нам формулами и запишем в правой части , а : . Теперь воспользуемся формулой квадрата разности и выполним возведение в квадрат в левой части, воспользуемся формулами квадрата разности и квадрата суммы и выполним возведение в квадрат в правой части:

.

По основному тригонометрическому тождеству в левой части сумма первого и последнего слагаемых равна , в правой части  и  равна , а также сумма  и  равна : . Теперь выполним несложные преобразования: , . И в результате получим, что . Что и требовалось доказать.

Теперь в доказанной формуле  заменим  на :  [воспользуемся известными нам формулами , ] . Таким образом, получили .

Мы познакомились с формулами сложения для косинуса. А для синуса есть такие формулы? Прежде чем познакомиться с формулами сложения для синуса, давайте докажем следующие формулы:  и . Для этого в формулу  вместо  подставим : . Таким образом, . Если мы заменим в этой формуле  на , то получим формулу .

А если мы в формулу  вместо  подставим :  . Выполним преобразования:  ,  . И поменяем местами правую и левую части, то получим формулу .

Далее, применяя все полученные выше формулы, мы с вами выведем формулы сложения для синуса. Итак, применив формулу  справа налево, запишем  [перепишем выражение под знаком косинуса]  [применим формулу ]  [по формуле  вместо к запишем , по формуле  вместо  запишем ] . Таким образом, мы получили, что .

Теперь в формуле  заменим  на :  [в правой части  запишем как ,  запишем как ] . Получаем: .

Таким образом, мы познакомились с формулами, которые называют формулами сложения.

Давайте вычислим , .

 [применим формулу ]  [подставим значения синусов и косинусов] .

 [применим формулу ]  [теперь подставим значения синуса и косинуса] .

Сейчас, прежде чем приступить к практической части нашего урока, давайте докажем следующее равенство: . Для этого запишем левую часть этого равенства как  [преобразуем числитель по формуле , а знаменатель преобразуем по формуле ]  [теперь разделим числитель и знаменатель дроби на произведение . При этом отметим, что , так как делить на нуль нельзя] . Равенство  доказано.

Это формула сложения для тангенса? Верно. Аналогичным образом можно доказать, что .

Давайте вычислим:

.  [применим формулу ] .

Подставим значения  и :

.

А сейчас выполним несколько заданий.

Задание первое. Вычислите: а) ; б) ; в) .

Решение.

Второе задание. Найдите значения выражений: а) ; б) ; в) .

Решение.