Синус, косинус и тангенс углов α и -α

Вспомним, что синусом угла  называется ордината точки , полученной поворотом точки  вокруг начала координат на угол .

Косинусом угла  называется абсцисса точки , полученной поворотом точки  вокруг начала координат на угол .

Тангенсом угла  называется отношение синуса угла  к его косинусу.

Котангенсом угла  называется отношение косинуса угла  к его синусу.

Теперь приступим к рассмотрению новой темы. Итак, пусть на координатной плоскости изображена единичная окружность с центром в начале координат. Точка  совершает поворот против часовой стрелки на угол  и оказывается в точке . По определению синуса и косинуса можем сказать, что абсцисса точки  равна , а ордината – . Затем точка  совершает поворот на угол , противоположный углу , и оказывается в точке .

Тогда абсцисса точки  равна , а ордината равна ? Верно.

Посмотрите на угол . Ось  делит его пополам, а значит, точки  и  симметричны относительно оси . Тогда абсциссы этих точек совпадают, а ординаты имеют противоположные значения, то есть можем записать, что , а . Сразу отметим, что формулы  и  справедливы при любых значениях .

 А что можно сказать про тангенс противоположных углов? По определению тангенса угла можем записать, что . По формуле  числитель запишем как , по формуле  знаменатель запишем как : . Таким образом, мы получили, что . Отметим, что здесь , , так как ранее мы с вами говорили, что тангенс этих углов не определён.

Как быть с котангенсом противоположных углов? По определению котангенса угла запишем: . По формуле  числитель запишем как , а знаменатель по формуле  запишем как : . Таким образом, получили, что . Здесь , , так как котангенс этих углов не определён.

Полученные формулы позволяют перейти от вычисления синуса, косинуса, тангенса и котангенса отрицательных углов к вычислению их значений для положительных углов.

Давайте найдём , , , .

Итак, вычислим . Воспользуемся формулой  и запишем .

По формуле : .

По формуле : .

И вычислим . Воспользуемся формулой   и запишем .

А теперь выполним несколько заданий.

Задание первое. Вычислите: а) ; б) ; в) ; г) .

Решение.

Второе задание. Упростите выражения: а) ; б) ;  .

Решение.