Свойства числовых неравенств

На этом уроке мы рассмотрим свойства числовых неравенств, которые обычно называют основными, т.к. они часто используются при доказательстве других свойств неравенств и при решении многих задач.

Для начала нужно вспомнить определение неравенств:

Число  больше числа , если разность  – положительное число.

Число 𝒂 меньше числа 𝒃, если разность  – отрицательное число.

Итак, приступим к изучению свойств числовых неравенств.

Основные свойства числовых неравенств отражаются в следующих теоремах.

Теорема 1: Если , то . Если , то .

Доказательство:

Соотношение  означает, что . Тогда .

Т.к.   .

Соотношение  означает, что . Тогда .

Т.к.   .

Теорема 2: Если  и , то .

Доказательство:

Так как  и , то  и .

Тогда .

Если  и , то .

Теорема 3: Если  и  – любое число, то .

Доказательство:

Т.к. , то .

Если к обеим частям верного неравенства прибавить одно и то же число, то получится верное неравенство.

Теорема 4: Если  и  – положительное число, то . Если  и  – отрицательное число, то .

Доказательство:

Т.к. , то .

Если , то  

Если , то  

Если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится верное неравенство.

Если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число и изменить знак неравенства на противоположный, то получится верное неравенство.

Следствие: Если  – положительные числа и , то .

Доказательство:

Разделим обе части неравенства  на .

Задание: сравнить значения выражений  и , зная, что  – верное числовое неравенство.

Итоги:

Теорема 1: Если 𝒂>𝒃, то 𝒃<𝒂. Если 𝒂<𝒃, то 𝒃>𝒂.

Теорема 2: Если 𝒂<𝒃 и 𝒃<𝒄, то 𝒂<𝒄.

Теорема 3: Если 𝒂<𝒃 и 𝒄 – любое число, то 𝒂+𝒄<𝒃+𝒄.

Теорема 4: Если 𝒂<𝒃 и 𝒄 – положительное число, то 𝒂𝒄<𝒃𝒄. Если 𝒂<𝒃 и 𝒄 – отрицательное число, то 𝒂𝒄>𝒃𝒄.

Следствие: Если 𝒂 и 𝒃 – положительные числа и 𝒂<𝒃, то .