Вспомним основные свойства числовых неравенств, которые мы уже знаем.
При решении различных задач часто приходится складывать или умножать почленно левые и правые части неравенств.
Рассмотрим, как выполняется сложение и умножение числовых неравенств.
Теорема 5: Если и
,
то
.
Доказательство:
Прибавим к число
.
Получим .
Прибавим к число
.
Следовательно, .
Если почленно сложить верные неравенства одного знака, то получится верное неравенство.
Теорема 6: Если и
,
где
,
,
и
– положительные числа, то
.
Доказательство:
Умножим на число
.
Получим .
Умножим на число
.
Получим .
Если почленно перемножить верные неравенства одного знака, левые и правые части которых – положительные числа, то получится верное неравенство.
Если среди чисел ,
,
и
имеются
отрицательные, то неравенство
может оказаться неверным!
Следствие: Если числа –
положительные и
,
то
,
где
–
натуральное число.
Доказательство:
Доказанные свойства неравенств часто используют при оценке суммы, разности, произведения и частного.
Задание: Пусть есть
неравенства и
.
Оцените значения выражений: а)
и б)
.
Решение:
Задание 2: пусть есть
неравенства и
.
Оцените значения выражений: а)
и б)
.
Решение:
Итоги:
Теорема 5: Если 𝒂<𝒃 и 𝒄<𝒅, то 𝒂+𝒄<𝒃+𝒅.
Теорема 6: Если 𝒂<𝒃 и 𝒄<𝒅, где 𝒂, 𝒃, 𝒄 и 𝒅 – положительные числа, то 𝒂𝒄<𝒃𝒅.
Следствие: Если числа 𝒂 и 𝒃 – положительные и 𝒂<𝒃, то <
,
где 𝒏 –
натуральное число.