Противоположные утверждения. Доказательство от противного

В первую очередь поговорим о взаимно противоположных утверждениях. Давайте начнём с рассмотрения примера.

Согласно СНиП в зданиях, где больше 5 этажей, должен быть лифт.

Это правило можно сформулировать в виде утверждения: «Если в здании больше, чем 5 этажей, то в этом здании должен быть лифт». Это сложное утверждение, составленное с помощью слов «если» и «то».

Напомним, что утверждения, составленные с помощью логической конструкции если …, то …, называют условными утверждениями. Первое утверждение называется условием или посылкой, а второе – следствием.

Предположим, что в некотором городе построены два новых здания. В одном здании 10 этажей, а в другом 4 этажа. В обоих зданиях установлены лифты. Нарушено ли правило?

Ребята, правило не нарушено, ведь не сказано, что в зданиях, где не больше 5 этажей, не должно быть лифтов.

Давайте разберёмся. Для этого воспользуемся схемой со стрелками. Пусть утверждение А «В здании больше, чем 5 этажей», а утверждение В «В этом здании должен быть лифт». Тогда правило можно записать схематически: A → B.

Утверждение «Если в здании не больше, чем 5 этажей, то в этом здании не должно быть лифтов» имеет вот такую схему: не A → не B. Первое утверждение является истинным высказыванием. Про второе утверждение этого сказать нельзя, ведь не запрещено устанавливать лифты в зданиях, в которых мало этажей.

Утверждения A → B и не A → не B называют противоположными друг другу.

Рассмотрим пример.

Если запись натурального числа оканчивается цифрой 5, то это число делится нацело на 5.

Это условное утверждение. Давайте заменим обе части этого утверждения их отрицаниями.

Если запись натурального числа не оканчивается цифрой 5, то это число не делится нацело на 5.

Очевидно, что это утверждение не является истинным, так как, например, натуральное число 10 делится на 5, хотя его запись и не оканчивается цифрой 5.

Получается, что посылка «запись натурального числа не оканчивается цифрой 5» истинна, а следствие «число не делится нацело на 5» ложно.

Таким образом, можно сделать вывод, что если из утверждения А следует утверждение В, то это не означает, что из утверждения не А следует утверждение не В.

Теперь поговорим, как строить доказательство от противного.

Предположим, что утверждение А истинно. Пусть высказывание A → B тоже истинно.

Предположим, что утверждение В ложно. Тогда утверждение А тоже должно быть ложным. Но ведь мы знаем, что А истинно.

Получается, что утверждение А оказывается одновременно истинным и ложным высказыванием. Это противоречие. А значит, что в рассуждениях была допущена ошибка.

Единственное место, где может быть ошибка, – это предположение, что утверждение В ложно.

Сформулируем полученную мысль.

Утверждения A → B и не В → не А равносильны, то есть одновременно оба истинны или оба ложны. Поэтому вместо одного можно доказывать другое.

На таком рассуждении построено доказательство от противного.

Когда сложно доказать некоторое утверждение, можно предположить, что оно ложно, и прийти к противоречию. Тогда придётся признать, что всё же утверждение истинно.

Доказательства от противного часто встречаются в геометрии. Обычно такие доказательства начинаются словами «предположим противное».

Пусть нужно доказать некоторое утверждение В. Доказательство от противного состоит из трёх шагов.

1.     Делают предположение, что истинно утверждение не В.

2.     Приходят к противоречию с каким-нибудь истинным высказыванием.

3.     Делают вывод о том, что сделанное предположение ложно, а значит, утверждение В истинно.

Давайте, используя метод доказательства от противного, докажем одну из теорем об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей.

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.

Доказательство.

Пусть параллельные прямые  и  пересечены секущей MN. Докажем, что накрест лежащие углы, например, 1 и 2 равны.

Давайте предположим, что углы 1 и 2 не равны.

Отложим  от луча MN, равный , так, чтобы  и  были накрест

лежащими углами при пересечении прямых  и  секущей MN. По построению эти

накрест лежащие углы равны, поэтому прямая  параллельна прямой .

Получается, что через точку  проходят две прямые (прямая  и прямая ), которые параллельны прямой .

Это противоречит аксиоме параллельных прямых, в которой говорится, что через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Следовательно, наше предположение неверно, а значит, угол 1 равен углу 2.

Таким образом, мы доказали данную теорему методом доказательства от противного.

А теперь выполним несколько заданий.

Задание первое. В летней математической школе 75 учеников. Докажите, что среди них найдутся 7, у которых день рождения в одном и том же месяце.

Доказательство. Предположим, что среди 75 учеников нет 7 с днём рождения в одном месяце. Тогда в каждом из 12 месяцев день рождения случается не более чем у 6. Но в таком случае в школе не больше, чем 12 ∙ 6, то есть 72 ученика. А это противоречит истинному высказыванию «В летней математической школе 75 учеников».

Противоречие показывает, что предположение неверно. А значит, найдутся 7 учеников, у которых день рождения в одном месяце.

Задание второе. Докажите, что 54 шарика нельзя разложить на 10 кучек так, чтобы количество шариков в разных кучках было различным.

Доказательство. Давайте предположим, что 54 шарика можно разложить на 10 кучек так, чтобы количество шариков в разных кучках было различным. Тогда всего шариков не меньше, чем 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10, то есть 55. Обратите внимание, что мы рассматриваем минимальные различные количества шариков в кучках.

Получается, что шариков должно быть не менее 55, а их всего лишь 54. Получили противоречие. Следовательно, наше предположение неверно. А значит, 54 шарика нельзя разложить на 10 кучек так, чтобы количество шариков в разных кучках было различным.

Задание третье. Убирая урожай на школьном участке, школьники собрали 25 ящиков, в одних из которых – картофель, в других – морковь, в третьих – свёкла, в четвёртых – лук. Докажите, что имеется по крайней мере 7 ящиков, содержимое которых составляет один из указанных видов овощей.

Доказательство. Предположим противное. То есть среди 25 ящиков нет хотя бы 7, содержимое которых составляет один из указанных видов овощей.

Тогда пусть имеется 6 ящиков с картофелем, 6 ящиков с морковью, 6 ящиков со свёклой и 6 ящиков с луком. Всё это составляет 24 ящика. А это противоречит тому, что на школьном участке школьники собрали 25 ящиков.

Противоречие показывает, что предположение неверно. А значит, имеется по крайней мере 7 ящиков, содержимое которых составляет один из указанных видов овощей.

Друзья, на этом мы закончим наше занятие. До встречи на следующих занятиях!