Необходимые и достаточные условия. Признаки и свойства

Прежде чем приступить к рассмотрению новой темы, напомним, какие утверждения называют обратными и равносильными. Для этого рассмотрим пример.

Вспомним признак делимости на 10.

Если запись натурального числа оканчивается цифрой 0, то это число делится нацело на 10.

Это истинное высказывание.

Обратное утверждение: «Если натуральное число делится нацело на 10, то запись этого натурального числа оканчивается цифрой 0».

Это утверждение истинно. Оно выражает свойство чисел, которые делятся нацело на 10.

Таким образом, если исходное утверждение записать в виде A → B, то обратное ему утверждение имеет вид B → A. Такие утверждения называют взаимно обратными.

Если утверждение A → B истинно, то обратное утверждение B → A не обязательно истинно.

Если два взаимно обратных утверждения истинны или ложны одновременно, то они равносильны. При этом равносильными могут быть не только взаимно обратные утверждения. Нужно лишь, чтобы они были истинными или ложными одновременно.

Таким образом, равносильные утверждения – это утверждения, которые являются одновременно истинными или одновременно ложными.

Теперь давайте поговорим о необходимых и достаточных условиях.

Посмотрите на условное утверждение A → B. Это утверждение говорит, что если посылка А истинна, то этого достаточно, чтобы следствие В также оказалось истинным. Поэтому утверждение А часто называют достаточным условием для В.

Значит, если В ложно, то А не может быть истинным. Тогда можно сказать, что «без В не будет А». Поэтому В называют необходимым условием для А.

В следующем примере рассмотрим такое утверждение.

Если при пересечении прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Первая часть данного утверждения является достаточным условием для того, чтобы прямые были параллельны, то есть для второй части.

Вторая часть этого утверждения является необходимым условием того, чтобы при пересечении прямых секущей соответственные углы оказались равны (если не будет параллельности, то равенства соответственных углов тоже не будет).

Осталось поговорить о признаках и свойствах.

Математические теоремы очень часто формулируют как признаки и свойства. Утверждение, рассмотренное в примере, – это признак параллельности прямых.

Рассмотрим утверждение «Если предмет сделан из пенопласта, то он не тонет в воде».

Это утверждение можно рассматривать как признак предмета, который не тонет в воде, и как свойство предмета, который сделан из пенопласта.

Однако, обратите внимание, что обратное утверждение «Если предмет не тонет в воде, то он сделан из пенопласта» неверно, так как в воде не тонут не только предметы из пенопласта.

Утверждение «Если человек пробежал 10 км, то он сильно устал» является свойством бега на длинную дистанцию и одновременно признаком усталости.

Обратное утверждение «Если человек сильно устал, то значит, он пробежал 10 км» не является истинным, ведь этот человек мог устать совершенно по другой причине.

Следует отметить, что любой признак можно рассмотреть как свойство и наоборот. Конечно, легко запутаться. Поэтому одни утверждения привыкли называть только признаками, а другие – свойствами.

Например, сейчас перед вами три утверждения, которые называют признаками равенства треугольников.

А вот утверждение «Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь» называют основным свойством дроби.

Друзья, в нашей повседневной жизни нам часто приходится рассуждать и делать умозаключения. При этом мы не стараемся формулировать утверждения точно и не следим, где признак, а где свойство, какие наши мысли и слова являются достаточными условиями, а какие необходимыми. Мы это делаем интуитивно.

А вот занимаясь математикой, важно следить, чтобы рассуждения были безупречны. Важно точно формулировать истинные высказывания в виде аксиом и теорем, признаков и свойств. При этом нужно понимать, как правильно сформулировать признак, как устроено свойство, где достаточные и где необходимые условия.

Друзья, на этом мы закончим наш урок. До встречи на следующих занятиях!