Обратные и равносильные утверждения

Ребята, начнём наше занятие с рассмотрения примера.

Давайте вспомним признак делимости на 9.

Если сумма цифр натурального числа делится нацело на 9, то и само число делится нацело на 9.

Это истинное высказывание.

Построим обратное утверждение.

Если натуральное число делится нацело на 9, то сумма его цифр также делится нацело на 9.

Это утверждение тоже истинно. Оно выражает свойство чисел, делящихся нацело на 9.

Таким образом, если исходное утверждение записать в виде A → B, то обратное ему утверждение имеет вид B → A. Такие утверждения называют взаимно обратными.

В рассмотренном примере оба взаимно обратных утверждения оказались истинными. Но так бывает не всегда.

Рассмотрим утверждение.

Если натуральное число делится нацело на 6, то оно делится нацело на 3.

Это утверждение является истинным высказыванием.

Построим обратное утверждение.

Если натуральное число делится нацело на 3, то оно делится нацело на 6.

Это утверждение ложно. Так как, например, число 9 делится нацело на 3, но не делится нацело на 6.

Получается, что если утверждение A → B истинно, то обратное утверждение B → A не обязательно истинно.

Если два взаимно обратных утверждения истинны или ложны одновременно, то они равносильны. Примеры равносильных утверждений довольно часто встречаются в геометрии.

Давайте в следующем примере рассмотрим утверждения.

Если треугольник равносторонний, то все углы этого треугольника равны.

Если в треугольнике все углы равны, то такой треугольник равносторонний.

Это два взаимно обратных равносильных утверждения. Первое утверждение выражает свойство равностороннего треугольника, а второе – признак равностороннего треугольника.

Важно отметить, что равносильными могут быть не только взаимно обратные утверждения. Нужно лишь, чтобы они были истинными или ложными одновременно.

Таким образом, равносильные утверждения – это утверждения, которые являются одновременно истинными или одновременно ложными.

А теперь выполним несколько заданий.

Задание первое. Постройте утверждение, обратное данному.

Решение.

Первое утверждение.

Обратное утверждение «Если натуральное число делится без остатка на 10, то запись этого натурального числа оканчивается цифрой 0».

Второе утверждение.

Обратное утверждение «Если у человека отчество Александрович, то его отца зовут Александр».

Третье утверждение.

Обратное утверждение «Если асфальт на улице мокрый, то идёт дождь». Отметим, что в данном случае обратное утверждение неверно, так как асфальт могла намочить поливальная машина, а вовсе не дождь.

Задание второе. Даны утверждения.

Запишите символически с помощью букв и стрелок следующее утверждение и обратное к нему.

Решение.

Первое утверждение «Если запись натурального числа n оканчивается цифрой 5, то это число делится без остатка на 5». Зная признак делимости на 5, можно сказать, что данное утверждение является истинным. Это утверждение можно записать так: C → A.

Обратное утверждение «Если натуральное число n делится без остатка на 5, то запись этого натурального числа оканчивается цифрой 5». Это утверждение не является истинным, так как на 5 делятся без остатка не только натуральные числа, запись которых оканчивается на 5, но и натуральные числа, запись которых оканчивается на 0. Это утверждение можно записать так: A → C.

Второе утверждение «Если натуральное число n делится без остатка на 2, то запись этого числа оканчивается цифрой 0». Данное утверждение не является истинным, так как на 2 делятся без остатка не только натуральные числа, запись которых оканчивается на 0, но и натуральные числа, запись которых оканчивается цифрами 2, 4, 6, 8. Это утверждение можно записать так: B → D.

Обратное утверждение «Если запись натурального числа n оканчивается цифрой 0, то это число делится без остатка на 2». Это утверждение является истинным. Его можно записать так: D → B.

Друзья, на этом мы закончим наше занятие. До встречи на следующих занятиях!