Формула сложения вероятностей. Случай, когда события несовместны

Прежде чем приступить к рассмотрению новой темы, напомним, случайные события – это множества. А значит, с ними можно производить действия, как и со всякими другими множествами.

Объединение случайных событий  и  – это множество элементарных событий, которые благоприятствуют хотя бы одному из событий  и .

Пересечение случайных событий  и  – это множество элементарных событий, которые благоприятствуют и событию , и событию .

Также напомним, что если события  и  не имеют общих благоприятствующих элементарных событий, то они не могут наступить одновременно в одном и том же эксперименте. Такие события называют несовместными, а их пересечение – невозможным, или пустым, событием. Получается, что события  и  называются несовместными, если их пересечение не содержит элементарных событий.

Вероятность пересечения несовместных событий равна 0. На диаграмме Эйлера несовместные события изображаются в виде двух непересекающихся кругов.

Пример. Игральный кубик бросают дважды. Рассмотрим событие  – «в первый раз выпало больше очков, чем во второй» и событие  – «в первый раз выпало меньше очков, чем во второй».

Изобразим результаты этого случайного эксперимента с помощью таблицы размером 6 на 6 клеточек, где номер строки – результат первого броска, а номер столбца – результата второго броска.

Событие  состоит в том, что в первый раз выпало больше очков, чем во второй. Выделим в таблице это событие зелёным цветом.

Событие  состоит в том, что в первый раз выпало меньше очков, чем во второй. Выделим в таблице это событие синим цветом.

У событий  и  нет общих элементарных событий. Следовательно, события  и  несовместны.

Чему равна вероятность объединения событий  и ?

События  и  равновозможны. Событию  благоприятствуют 15 элементарных событий. Событию  также благоприятствуют 15 элементарных событий. Общее число элементарных событий рассматриваемого случайного эксперимента равно 36.

Вероятность объединения событий  и  найдём как частное суммы элементарных событий, благоприятствующих событиям  и , и общего числа элементарных событий.

Эту дробь можно разбить на два слагаемых.

Получается, что вероятность объединения двух событий оказалась равной сумме вероятностей этих событий. Это свойство верно для любых двух несовместных событий в любом случайном опыте.

Сформулируем правило сложения вероятностей двух несовместных событий.

Вероятность объединения несовместных событий равна сумме их вероятностей.

Выполним несколько заданий.

Задание первое. События  и  несовместны. Найдите вероятность объединения этих событий, если известны их вероятности.

Решение.

Задание второе. Бросают игральный кубик. Событие  – «выпало нечётное число очков». Событие  – «выпало чётное число очков». Если события  и  несовместны, найдите вероятность их объединения.

Решение.

До встречи на следующих занятиях!