Формула сложения вероятностей. Общий случай

Ребята, прежде чем сформулировать общее правило сложения вероятностей, напомним правило сложения вероятностей несовместных событий.

Вероятность объединения несовместных событий равна сумме их вероятностей.

Если события  и  не являются несовместными, то есть они совместны и могут наступить в результате одного эксперимента, то к ним нельзя применить правило для несовместных событий. Давайте убедимся в этом на примере.

Игральный кубик бросают 2 раза. Рассмотрим событие  – «в первый раз выпало больше 4 очков» и событие  – «во второй раз выпало больше 4 очков».

Изобразим результаты этого случайного эксперимента с помощью таблицы размером 6 на 6 клеточек, где номер строки – результат первого броска, а номер столбца – результата второго броска.

Событие  состоит в том, что в первый раз выпало больше 4 очков. Выделим в таблице это событие зелёным цветом.

Событие  состоит в том, что во второй раз выпало больше 4 очков. Выделим в таблице это событие синим цветом.

Видим, что событию  благоприятствуют 12 элементарных событий. Событию  благоприятствуют тоже 12 элементарных событий. При этом обратите внимание, что 4 элементарных события являются общими, поскольку события А и Б совместны. Объединению событий  и  благоприятствуют 20 элементарных событий. Общее число элементарных событий рассматриваемого случайного эксперимента равно 36.

Давайте найдём сумму вероятностей событий  и .

Обратите внимание, что сумма вероятностей событий  и  не равна вероятности объединения событий  и .

Получается, что данная формула в этом случае неверна. Тогда давайте будем разбираться.

Изобразим события  и  на диаграмме Эйлера.

Рассмотрим событие  – «наступило событие  но не наступило событие » и событие  – «наступило событие , но не наступило событие ».

На диаграмме Эйлера видно, что событие  и пересечение событий  и  несовместны. Вместе эти события образуют событие .

Поэтому по правилу сложения вероятностей для несовместных событий можем записать, что .

Также на диаграмме Эйлера видно, что событие  и пересечение событий  и  несовместны. Вместе эти события образуют событие .

Поэтому по правилу сложения вероятностей для несовместных событий можем записать, что .

Сложим полученные равенства.

Откуда получаем, что .

Таким образом, мы вывели общую формулу и теперь можем сформулировать общее правило сложения вероятностей. Вероятность объединения двух событий равна сумме их вероятностей без вероятности их пересечения.

Полученная формула справедлива для любых двух событий  и , в том числе для несовместных, поскольку в случае несовместных событий вероятность пересечения событий  и  равна 0.

Выполним несколько заданий.

Задание первое. Найдите вероятность объединения событий  и , если известны их вероятности и вероятность их пересечения.

Решение. Обратите внимание, что в обоих случаях вероятность пересечения событий  и  не равна 0. Это значит, что события  и  совместны.

Чтобы выполнить данное задание, воспользуемся правилом сложения вероятностей.

Задание второе. Чему равна вероятность пересечения событий  и , , , а ?

Решение. Чтобы выполнить это задание, воспользуемся правилом сложения вероятностей. Выразим из формулы вероятность пересечения событий  и . Подставим данные в условии значения и выполним вычисления.

Задание третье. В торговом центре рядом друг с другом стоят два банкомата. Вероятность того, что в течение дня в первом банкомате закончатся денежные купюры, равна 0,3. Вероятность того, что купюры закончатся во втором банкомате, равна 0,2. В двух банкоматах купюры могут закончиться с вероятностью 0,05. Найдите вероятность того, что в течение дня купюры закончатся хотя бы в одном банкомате.

Решение.

До встречи следующих занятиях!