Объединение и пересечение событий

Прежде чем приступить к рассмотрению новой темы, напомним, элементарные события образуют множества, которые называют случайными событиями. Само по себе элементарное событие можно рассматривать как множество из одного элемента.

Пустое случайное событие – это случайное событие, которое не содержит ни одного элементарного события. Такое событие называют невозможным.

Достоверное случайное событие – это множество всех элементарных событий в эксперименте. Таким образом, можно считать, что достоверное событие – это сам случайный эксперимент.

Случайные события можно разными способами сочетать друг с другом, образовывая при этом новые случайные события.

Так как случайные события – это множества, то с ними можно производить действия, как и со всякими другими множествами.

Объединение случайных событий  и  – это множество элементарных событий, которые благоприятствуют хотя бы одному из событий  и .

Пересечение случайных событий  и  – это множество элементарных событий, которые благоприятствуют и событию , и событию .

Пример. Продавец выбирает два платья, чтобы поместить их на витрину магазина. В ассортименте есть красные и чёрные платья.

Элементарные события этого случайного эксперимента – это пары платьев (красное платье и чёрное платье, два красных платья, два чёрных платья, чёрное платье и красное платье).

Пусть событие  состоит в том, что первое платье красного цвета. Этому событию благоприятствуют элементарные события: «красное платье и чёрное платье» и «два красных платья».

Событие  состоит в том, что второе платье красного цвета. Этому событию благоприятствуют элементарные события: «чёрное платье и красное платье» и «два красных платья».

Объединение событий  и  состоит в том, что хотя бы одно из платьев красного цвета. Этому событию благоприятствуют элементарные события: «красное платье и чёрное платье», «два красных платья», «чёрное платье и красное платье».

Пересечение событий  и  состоит в том, что оба платья красные. Этому событию благоприятствует элементарное событие «два красных платья».

Объединение и пересечение событий  и  можно изобразить на диаграмме Эйлера.

Пусть один круг изображает событие , а второй – событие . Тогда фигура, состоящая из обоих кругов, – это объединение событий  и . Пересечение событий и изображается общей частью кругов.

Пример. Игральный кубик бросают 2 раза. Пусть событие  – «при первом броске выпало больше 3 очков», а событие  – «при втором броске выпало больше 3 очков».

Результаты эксперимента удобно изображать с помощью таблицы размером 6 на 6 клеточек, где номер строки – результат первого броска, а номер столбца – результат второго броска.

Событие  состоит в том, что при первом броске игрального кубика выпало больше 3 очков. Покажем в таблице это событие зелёными крестиками.

Событие  состоит в том, что при втором броске игрального кубика выпало больше 3 очков. Покажем в таблице это событие синими крестиками.

Объединение событий  и  состоит в том, что хотя бы один раз выпало больше 3 очков. Пересечение событий  и состоит в том, что оба раза выпало больше 3 очков.

Если события  и  не имеют общих благоприятствующих элементарных событий, то они не могут наступить одновременно в одном и том же эксперименте. Такие события называют несовместными, а их пересечение – невозможным, или пустым, событием.

События и называются несовместными, если их пересечение не содержит элементарных событий.

Вероятность пересечения несовместных событий равна 0. На диаграмме Эйлера несовместные события изображаются в виде двух непересекающихся кругов.

Например, при бросании игрального кубика события «выпало чётное число очков» и «выпало нечётное число очков» являются несовместными.

События «наступило утро» и «наступил вечер» тоже являются несовместными.

В одном и том же году события «1 сентября приходится на понедельник» и «1 сентября приходится на пятницу» также являются несовместными.

Выполним несколько заданий.

Задание первое. На диаграмме Эйлера показано число элементарных событий, благоприятствующих каждому из событий  и . Сколько элементарных событий благоприятствуют событию ?

Решение.

Объединение случайных событий  и  – это множество элементарных событий, которые благоприятствуют хотя бы одному из событий  и .

Тогда событию  благоприятствуют 30 элементарных событий.

Задание второе. Событию  благоприятствуют 15 элементарных событий. Событию благоприятствуют 20 элементарных событий. Из этих 20 элементарных событий 8 благоприятствуют сразу двум событиям. Нарисуйте соответствующую диаграмму Эйлера и ответьте на вопросы.

Решение.

До встречи на следующих занятиях!