Видеоучебник / Математика / 8 класс / Математика. Вероятность и статистика. 8 класс / Определение случайного события. Взаимно противоположные события

Определение случайного события. Взаимно противоположные события

Урок 25. Математика. Вероятность и статистика. 8 класс

В уроке даём определение случайного события. Рассказываем, какие события называют взаимно противоположными.

Конспект урока "Определение случайного события. Взаимно противоположные события"

Прежде чем приступить к рассмотрению новой темы, напомним, что событие называют случайным, если нельзя утверждать, что это событие в данных обстоятельствах непременно произойдёт.

Случайный опыт (случайный эксперимент) – это условия и обстоятельства, в которых мы рассматриваем случайные события.

Приведём несколько примеров.

Случайный эксперимент – телефонный разговор. В нём возникают случайные события. Например, «длительность разговора составит не более 5 минут», «длительность разговора составит более 10 минут», «разговор прервётся из-за плохой связи». Конечно же, в этом случайном эксперименте возможны и другие случайные события.

Случайный эксперимент – ученик пишет контрольную работу по математике. В нём возникают случайные события. Например, «ученик не сделает ни одной ошибки», «ученик сделает больше двух ошибок». Очевидно, что возможны и другие случайные события в этом случайном эксперименте.

Случайный эксперимент – бросание игрального кубика. В нём возникают случайные события. Например, «выпадет 2 очка», «выпадет 5 очков», «выпадет меньше 4 очков». Конечно, в данном эксперименте возможны и другие случайные события.

Случайный эксперимент – подбрасывание монеты. Он может окончиться либо выпадением орла, либо выпадением решки. Всего два события, одно из которых обязательно произойдёт.

Если случайное событие не относится к рассматриваемому эксперименту, то оно не является событием этого эксперимента.

Получается, что случайный эксперимент оканчивается каким-либо элементарным событием. Какое именно элементарное событие наступит в данном опыте – дело случая. Два разных элементарных события вместе произойти не могут.

Элементарные события образуют множества, которые называют случайными событиями. Само по себе элементарное событие можно рассматривать как множество из одного элемента.

Пустое случайное событие – это случайное событие, которое не содержит ни одного элементарного события. Такое событие называют невозможным.

Достоверное случайное событие – это множество всех элементарных событий в эксперименте. Таким образом, можно считать, что достоверное событие – это сам случайный эксперимент.

Случайные события можно разными способами сочетать друг с другом, образовывая при этом новые случайные события. Сегодня мы с вами поговорим о противоположных случайных событиях.

Рассмотрим некоторый случайный опыт и элементарные события, которые возникают в этом опыте.

Давайте разобьём все элементарные события на два множества. Пусть первое множество образует случайное событие . Тогда остальные элементарные события благоприятствуют другому событию, которое называют противоположным событию и обозначают .

Событие, противоположное событию – это множество всех элементарных событий, которые не принадлежат событию .

Если событие противоположно событию , то событие противоположно событию . Поэтому события и называют взаимно противоположными.

Рассмотрим пример. Бросают игральный кубик.

Событие – «выпадет меньше 4 очков».

Этому событию благоприятствуют элементарные события: «выпадет 1 очко», «выпадет 2 очка», «выпадет 3 очка».

Не благоприятствуют событию элементарные события: «выпадет 4 очка», «выпадет 5 очков», «выпадет 6 очков». Все эти элементарные события благоприятствуют событию – «выпадет 4 очка и больше».

Взаимно противоположные события одновременно произойти не могут, но какое-либо из них происходит обязательно. Поэтому можно записать так: «Сумма вероятности события и вероятности события равна 1».

Также можно сказать, что для нахождения вероятности противоположного события следует из 1 вычесть вероятность самого события. То есть имеют место равенства.

Запомните! Сумма вероятностей взаимно противоположных событий равна единице.

Это свойство часто оказывается полезным, если найти вероятность нужного события сложнее, чем вероятность противоположного.

Рассмотрим пример. Какова вероятность того, что при двукратном бросании игрального кубика во второй раз выпадет не то же число очков, что в первый раз?

Решение. Пусть событие – «при двукратном бросании игрального кубика во второй раз выпадет не то же число очков, что в первый раз».

Этому событию благоприятствует много элементарных событий. Поэтому проще найти вероятность противоположного события – «оба раза выпадет одно и то же число очков».

Данный эксперимент может окончиться одним из 36 равновозможных элементарных событий, которые удобно изображать с помощью таблицы размером 6 на 6 клеточек. Номер строки – результат первого броска. Номер столбца – результат второго броска.

Событию благоприятствуют 6 элементарных событий из 36.

Вероятность события равна частному элементарных событий, которые благоприятствуют событию , и всех равновозможных элементарных событий рассматриваемого опыта.

Тогда вероятность события равна разности 1 и вероятности события .

Соотношения между событиями удобно изображать с помощью диаграмм Эйлера.

Давайте весь случайный эксперимент, то есть все элементарные события опыта, изобразим прямоугольником. Тогда если событие изображено кругом внутри прямоугольника, то оставшаяся часть прямоугольника изображает противоположное событие .

Прежде чем перейти к практической части нашего занятия, отметим, что достоверное и невозможное события взаимно противоположны.

Выполним несколько заданий.

Задание первое. В случайном эксперименте 10 элементарных событий. Событию благоприятствуют 8 из них. Сколько элементарных событий благоприятствуют событию ?

Итак, событие и событие – взаимно противоположные события.

Известно, что в случайном эксперименте 10 элементарных событий. Событию благоприятствуют 8 из них. Тогда событию благоприятствуют 2 элементарных события (.