Отрицание сложных утверждений

Прежде чем приступить к рассмотрению новой темы, напомним, что из нескольких простых утверждений можно строить более сложные. Это можно делать с помощью логических союзов «и» и «или».

Логические союзы «и» и «или» похожи на союзы, которые используются в русском языке. Вот только в повседневной речи действие этих союзов во многом определяется ситуацией и контекстом.

Чтобы сложное утверждение «A и B» было истинным, нужно, чтобы обе части этого утверждения были истинны.

Чтобы сложное утверждение «A или B» было истинным, нужно, чтобы хотя бы одна часть этого утверждения была истинна.

Отметим, что слова «хотя бы» означают, что утверждение «A или B» будет истинным высказыванием, если истинным является только утверждение A, только утверждение B или оба утверждения.

Иногда сложные утверждения не содержат в явном виде союзов «и» и «или», но подразумевают один из них.

Утверждение «A и не A» является ложным высказыванием независимо от того, истинно или ложно утверждение A.

Утверждение «A или не A» является истинным высказыванием независимо от того, истинно или ложно утверждение A.

Теперь поговорим об отрицании сложных утверждений.

Давайте рассмотрим пример. Дано утверждение: «Сегодня на небе облачно и дует сильный ветер». Это утверждение с логическим союзом «и». Чтобы оно было истинным высказыванием, должны быть выполнены оба условия: и про небо, и про ветер.

Чтобы сформулировать отрицание этого сложного утверждения, достаточно «отменить» только облачное небо или только сильный ветер. Также можно «отменить» всё сразу.

Если хотя бы одна из частей сложного утверждения с союзом «и» станет ложной, ложным станет всё утверждение. Поэтому отрицание данного утверждения будет выглядеть так: «Сегодня небо не облачное или нет сильного ветра».

Обратите внимание, что к каждой из частей сложного утверждения мы добавили отрицание, а союз «и» заменили союзом «или».

Получается, что отрицанием к утверждению «A и B» является утверждение «не A или не B».

Также можно сказать, что если утверждение состоит из нескольких частей, соединённых союзом «и», то для построения отрицания надо построить отрицание каждой части утверждения, а между частями поставить союз «или».

Рассмотрим пример. Дано утверждение «В треугольнике  есть прямой угол и два угла равны между собой».

Такой треугольник существует, а значит, данное утверждение может быть истинным.

Давайте построим отрицание к этому утверждению. Для этого в первую очередь запишем его более формально: «В треугольнике  есть прямой угол и в треугольнике  два угла равны между собой». Теперь нам более понятно, как построить отрицание: «В треугольнике  нет прямого угла или в треугольнике  никакие два угла не равны».

Сформулируем получившееся утверждение более привычным образом: «Треугольник  непрямоугольный или неравнобедренный». Это утверждение истинно для любого непрямоугольного равнобедренного треугольника, для любого прямоугольного неравнобедренного треугольника, для любого непрямоугольного и неравнобедренного треугольника.

Чтобы построить отрицание к сложному утверждению с союзом «или», нужно построить отрицания к обеим частям этого утверждения и заменить логический союз «или» на «и».

Пример. Дано утверждение: «Две любые прямые на плоскости пересекаются или параллельны». Это утверждение является истинным высказыванием. Построим отрицание: «На плоскости найдутся две прямые, которые не пересекаются и не параллельны». Это утверждение ложно.

Отрицанием к утверждению «A или B» является утверждение «не A и не B».

Или можно сказать, что если утверждение состоит из нескольких частей, соединённых союзом «или», то для построения отрицания надо построить отрицание каждой части утверждения, а между частями поставить союз «и».

Опираясь на сказанное выше, познакомимся с одним интересным видом доказательства.

Пусть нам надо доказать, что некоторый объект обладает либо одним свойством, либо другим. Тогда можно попытаться предположить, что одно из свойств не выполняется, и доказать, что в этом случае выполняется второе.

Давайте докажем утверждение.

Если у двух прямых одинаковы угловые коэффициенты, то эти две прямые совпадают или параллельны.

Доказательство.

Пусть даны две прямые, которые заданы уравнениями и .

Предположим, что данные прямые не совпадают, то . Чтобы проверить, есть ли у этих двух прямых общая точка, составим уравнение . Это уравнение не имеет решений, поскольку . Значит, общих точек прямые не имеют.

Считая, что прямые не совпадают, мы получили, что у них нет общих точек, то есть они параллельны.

Теперь давайте предположим, что данные прямые не параллельны, то есть . Составим такое уравнение . Оно имеет бесконечного много решений, поскольку . Значит, прямые имеют бесконечно много общих точек.

Считая, что прямые не параллельны, мы получили, что у них бесконечно много общих точек, то есть они совпадают.

Чтобы доказать утверждение вида «A или B», можно предположить, что истинно утверждение «не A» и доказать только истинность утверждения B. И наоборот, можно предположить, что истинно утверждение «не B» и доказать только истинность утверждения A.

Выполним несколько заданий.

Задание первое. Постройте отрицания к утверждениям.

Решение.

Первое утверждение: «На завтрак Настя съела кашу и выпила какао».

Мы знаем, что отрицанием к утверждению «A и B» является утверждение «не A или не B».

Тогда отрицанием к данному утверждению будет утверждение: «На завтрак Настя не съела кашу или не выпила какао».

Второе утверждение: «Костя занимается футболом и не любит читать». Отрицанием к этому утверждению будет утверждение: «Костя не занимается футболом или любит читать».

Третье утверждение: «Катя купит больше 12 карандашей или не выполнит домашнее задание по рисованию».

Отрицанием к утверждению «A или B» является утверждение «не A и не B».

Тогда отрицанием к данному утверждению будет утверждение: «Катя купит меньше или ровно 12 карандашей и выполнит домашнее задание по рисованию».

Задание второе. Являются ли отрицаниями друг друга утверждения и ?

Утверждение : «Задуманное число меньше  или задуманное число больше ».

Утверждение Д: «Задуманное число равно ».

Решение.

Данные утверждения являются отрицаниями друг друга, ведь если число равно , то оно не может быть одновременно больше или .

Задание третье. Постройте отрицания к утверждениям.

Решение.

Первое утверждение: «При бросании игрального кубика выпало менее 5 очков, но более 2 очков».

Обратите внимание, что в этом утверждении нет союза «и» или союза «или». Но его можно переформулировать так: «При бросании игрального кубика выпало менее 5 очков и более 2 очков».

Тогда отрицанием к данному утверждению будет утверждение: «При бросании игрального кубика выпало не менее 5 очков или не более 2 очков»

Второе утверждение: «При бросании игрального кубика выпало менее 5 очков или более 2 очков». Отрицанием к этому утверждению будет утверждение: «При бросании игрального кубика выпало не менее 5 очков и не более 2 очков».

До встречи на следующих занятиях!