Логические союзы «и» и «или»

Ребята, мы с вами постоянно имеем дело с утверждениями. Про какие-то мы можем сказать, что они истинные, а про какие-то – что они ложные. Также порой встречаются утверждения, в которых мы сомневаемся или воспринимаем их как шутку.

Любое рассуждение, которое проводит человек, является последовательностью или сочетанием утверждений, которые следуют друг из друга или из других утверждений. Разобраться в том, как должно быть устроено верное рассуждение, помогает логика – раздел математики, который изучает утверждения и то, как они связаны между собой.

В математике важную роль играют утверждения, о которых определённо можно судить, истинны они или ложны. Напомним, что такие утверждения называют высказываниями.

Высказывание – это утверждение, которое либо истинно, либо ложно.

Посмотрите на следующие математические утверждения.

Очевидно, что какие-то из них являются истинными, а какие-то ложными.

Из нескольких простых утверждений можно строить более сложные. Давайте поговорим о том, как это делать с помощью логических союзов «и» и «или», которые по своему смыслу очень похожи на союзы, используемые нами в повседневной речи.

Пример. Рассмотрим два математических утверждения.

7 меньше, чем 9.

7 меньше, чем 3.

Очевидно, что первое высказывание является истинным, а второе – ложным.

Соединим эти два высказывания союзом «и» и получим сложное утверждение.

(7 меньше, чем 9) и (7 меньше, чем 3).

Это утверждение является ложным, так как второе высказывание ложно.

Чтобы сложное утверждения «А и В» было истинным, нужно, чтобы обе части этого утверждения были истинны. Действие логического союза «и» очень похоже на функцию союза «и» в русском языке.

Вернёмся к нашему примеру и поставим между данными утверждениями союз «или».

(7 меньше, чем 9) или (7 меньше, чем 3).

Получилось сложное утверждение. Оно является истинным, потому что истинна его первая часть, а союз «или» не требует, чтобы были истинны обе части (достаточно одной).

Чтобы сложное утверждение «А или В» было истинным, нужно, чтобы хотя бы одна часть этого утверждения была истинна.

Следует отметить, что слова «хотя бы» означают, что утверждение «А или В» будет истинным высказыванием, если истинным является только утверждение А, только утверждение В или оба утверждения.

Иногда сложные утверждения не содержат в явном виде союзов «и» и «или», но подразумевают один из них.

Пример. Рассмотрим утверждение.

21 делится нацело на 3, а также на 9.

Обратите внимание, что в нём нет союзов «и» и «или», но его можно переформулировать.

(21 делится нацело на 3) и (21 делится нацело на 9).

Как вы понимаете, это высказывание ложно, так как ложна его вторая часть.

Пример. Рассмотрим два утверждения.

Задание выполнено.

Задание не выполнено.

Второе утверждение является отрицанием первого.

Соединим эти утверждения логическими союзами и посмотрим, что у нас получится.

З выполнено) и (задание не выполнено).

Если задание выполнено, то первая часть – истинное высказывание, а вторая – ложное. Значит, всё сложное утверждение будет ложным.

Если задание не выполнено, то первая часть – ложное высказывание, а вторая – истинное. Значит, и в этом случае всё сложное утверждение будет ложным.

Таким образом, построенное с помощью союза «и» сложное утверждение будет ложным независимо от того, выполнено задание или нет. Так можно поступить с любым утверждением А.

Получается, что утверждение «А и не А» является ложным высказыванием независимо от того, истинно или ложно утверждение А.

Теперь попробуем соединить данные утверждения союзом «или».

(Задание выполнено) или (задание не выполнено).

Обе части этого утверждения не могут быть одновременно ложными. Одна из них будет обязательно истинной. Значит, получившееся сложное утверждение является истинным высказыванием.

Таким образом, утверждение «А или не А» является истинным высказыванием независимо от того, истинно или ложно утверждение А.

Пример. Надо рассмотреть фигуры, изображённые на рисунке, и установить истинны или ложны данные утверждения.

Фигура 1 является треугольником или кругом.

Фигура 2 является кругом или квадратом.

Фигура 3 является треугольником или квадратом.

Так как, чтобы сложное утверждение «А или Б» было истинным, нужно, чтобы хотя бы одна часть этого утверждения была истинна. Следовательно, утверждение «Фигура 1 является треугольником или кругом» истинно, поскольку его первая часть истинна.

Второе утверждение «Фигура два является кругом или квадратом» тоже истинно, так как истинна его вторая часть.

Третье утверждение «Фигура три является треугольником или квадратом» ложно, поскольку обе его части ложны, ведь фигура три является кругом.

Выше мы сказали, что логические союзы «и» и «или» похожи на союзы, которые используются в русском языке. Но на самом деле, в повседневной речи действие союзов во многом определяется ситуацией и контекстом.

Например, написав, что уравнение имеет корни 1 и – 1, мы понимаем, что должен равняться какому-то одному из этих чисел, а не обоим сразу. Казалось бы, что правильнее поставить союз «или», но ведь союз «и» здесь выглядит более естественно и не мешает понимать сказанное.

Выполним несколько заданий.

Задание первое. Дан отрезок. Известно, что истинно утверждение «Длина данного отрезка больше 10 см и длина данного отрезка меньше 25 см». Какие из данных высказываний истинны, а какие могут оказаться ложными?

Решение.

Высказывание а) истинно, так как известно, что длина данного отрезка больше 10 см, а значит, и больше 5 см.

Высказывание б) может оказаться ложным, так как отрезок может быть больше 10 см, но меньше 17 см.

Высказывание в) может оказаться ложным, так как отрезок может быть равен, например, 10,5 см (в условии не сказано, что длина отрезка – целое число).

Задание второе. Даны утверждения «Число больше, чем 5» и «Число меньше, чем 10». Могут ли оба утверждения оказаться: а) истинными высказываниями; б) ложными высказываниями?

Решение.

Данные утверждения могут оказаться истинными высказываниями одновременно. Это будет в том случае, если , ,  или

Оказаться одновременно ложными высказываниями данные утверждения не могут, так как число не может быть одновременно меньше или равно 5 и больше или равно 10.

В завершение нашего занятия выполните задание самостоятельно.

До встречи на следующих занятиях!