Объем наклонной призмы

Сегодня на уроке мы выведем формулу для нахождения объёма наклонной призмы.

Прежде чем приступить к изучению нового материала давайте вспомним формулу для нахождения объёма геометрического тела , повторим формулу для вычисления объёма прямой призмы .

Давайте сформулируем и докажем теорему.

Объём наклонной призмы равен произведению площади основания на высоту.

Доказательство. Сначала докажем эту теорему для треугольной наклонной призмы.

Рассмотрим треугольную призму с объёмом , площадью основания  и высотой .

Отметим на одном из оснований призмы точку  и направим ось  перпендикулярно основаниям.

Рассмотрим сечение призмы плоскостью, перпендикулярной к оси  и, значит, параллельной плоскости основания. Обозначим буквой  абсциссу точки пересечения этой плоскости с осью , а через  – площадь получившегося сечения.

Теперь давайте покажем, что площадь . Четырёхугольник  – параллелограмм, значит, . Аналогично, четырёхугольник  – параллелограмм, значит, . Четырёхугольник – параллелограмм, значит, и отрезки . Тогда получим, что треугольники  по трём сторонам, то есть мы доказали, что площади этих треугольников равны .

Теперь давайте применим основную формулу для вычисления объёмов тел .

Теперь давайте докажем эту теорему для произвольной призмы высоты  и площадью основания .

Такую призму можно разбить на треугольные призмы с общей высотой . Рассмотрим, например, выпуклую пятиугольную призму.

Вычислим объём каждой полученной треугольной призмы по доказанной нами формуле. Мы знаем, что если тело составлено из нескольких тел, то его объём равен сумме объёмов этих тел.

Тогда объём нашей пятиугольной призмы равен сумме объёмов треугольных призм.

Поскольку мы разбивали пятиугольную призму на треугольные с общей высотой, то в сумме объёмов высоту можно вынести за скобки. В скобках получим сумму площадей треугольников, на которые мы разбили пятиугольник. То есть в скобках мы получили площадь пятиугольника, который лежит в основании призмы. Тогда получим, что объём наклонной призмы равен , что и требовалось доказать.

Но объём наклонной призмы можно вычислить по другой формуле.

Объём наклонной призмы равен . Эту формулу мы доказывать не будем, просто рассмотрим несколько задач и посмотрим случаи, в которых проще вычислить объём призмы именно с помощью этой формулы.

Решим несколько задач.

Задача: найти объём наклонной призмы, у которой основанием является треугольник со сторонами , , , а боковое ребро, равное , составляет с плоскостью основания угол в .

Решение: для вычисления объёма призмы, воспользуемся только что доказанной формулой.

Площадь основания вычислим по формуле Герона.

Получим, что площадь основания призмы равна

Теперь давайте проведем высоту призмы и рассмотрим . Так как  – высота, значит, треугольник прямоугольный. По условию, боковое ребро равно , а угол между боковым ребром и плоскостью основания равен . Это будет угол между боковым ребром призмы и его ортогональной проекцией на плоскость основания. В данном случае, это будет , тогда . По свойству катета, лежащего напротив угла в тридцать градусов, . Тогда по теореме Пифагора нетрудно найти чему равна высота призмы. Высота призмы равна .

Подставим найденные значения в формулу для вычисления объёма призмы и получим, что объём призмы равен .

Задача: найти объём наклонной призмы, основанием которой является параллелограмм . Сторона , сторона , . Высота призмы равна .

Решение: воспользуемся только что доказанной формулой.

Для вычисления площади параллелограмма, лежащего в основании, воспользуемся формулой: .

Площадь основания будет равна .

Подставим полученное значение в формулу для вычисления объёма, получим, что объём призмы равен .

Задача: найти объём наклонной треугольной призмы, если расстояния между ее боковыми рёбрами равны ,  и , а площадь боковой поверхности равна .

Решение: расстояния между боковыми рёбрами – длина перпендикуляров. Таким образом, проведя все перпендикуляры мы получим треугольник, который будет перпендикулярным сечением призмы.

Поэтому нетрудно увидеть, что для вычисления объёма мы воспользуемся тем, что объём наклонной призмы равен .

Но прежде вспомним, что площадь боковой поверхности наклонной призмы равна .

Периметр перпендикулярного сечения равен . Тогда длина бокового ребра равна .

Вычислим площадь перпендикулярного сечения по формуле Герона. Получим, что площадь сечения равна

Подставим полученные значения в формулу для вычисления объёма и получим, что объём призмы равен .

Итоги:

Сегодня на уроке мы вывели формулу для вычисления объёма наклонной призмы.

Показали ещё одну формулу для вычисления объёма наклонной призмы. Решили несколько задач.