Цилиндр, конус, шар

Представим себе такую историю…

– Саша, чем ты занимаешься? – спросил у друга Паша.

– Решаю анаграммы, – ответил Саша. – Смотри, как много я решил. А вот на этой застрял… – загрустил Саша.

– Давай попробуем вместе её решить, – предложил Паша. – Здесь написано, что так называют объёмные тела, которые возникают при вращении какой-нибудь плоской фигуры вокруг какой-нибудь оси. Что-то не припомню я таких объёмных тел, – задумался Паша. – Ну, не беда. Попробуем сложить из этих букв слова. Смотри: из букв первого слова можно составить слово «тела».

– Точно! – обрадовался Саша. – И как я сам не заметил! Осталось расшифровать второе слово. Яна… Вера… Иван… Нерв… Вещания… – стал перечислять он. – Но что-то всё не то получается!

– Мне кажется, я понял, – сказал Паша. – Это слово «вращения».

– Точно! – обрадовался Саша. – Тогда получается, что здесь зашифрована фраза «тела вращения»? – удивился он. – Что это за тела такие? И где они вращаются?

– В условии у тебя написано, что так называют объёмные тела, которые возникают при вращении какой-нибудь плоской фигуры вокруг какой-нибудь оси, – сказал Паша.

– И какие же это плоские фигуры надо так вращать, чтобы получить тела вращения? – недоумевал Саша.

– Не знаю, – задумался Паша, – но точно знаю, кто нам сможет объяснить.

– Ребята, прежде чем я расскажу вам о телах вращения, давайте немного разомнёмся и выполним устные задания, – предложил Мудряш.

– Давайте сверимся! – сказал Мудряш. — Посмотрите, что у вас должно было получиться!

– Ну а теперь вернёмся к вашему вопросу, – начал Мудряш. – Давайте рассмотрим следующие предметы из нашего окружения. Что за предметы перед вами?

– Кружка, стакан, банка, – начал перечислять Саша.

– Свеча, карандаш, шляпа, – дополнил Паша.

– Хорошо! – согласился Мудряш. – Все эти предметы имеют целый ряд характеристик, например: материал, из которого они сделаны, масса, форма, размеры, цвет и так далее. Хочу заметить, что на уроках математики нас не будет интересовать цвет предмета, материал, из которого он изготовлен, его масса и так далее. Нам будут важны форма и размеры изучаемой фигуры.

– И какую же форму имеют эти предметы? – решили спросить мальчишки.

– Если мы внимательно посмотрим на все эти предметы, – продолжил Мудряш, – и не будем обращать внимания на их цвет, материал, из которого они сделаны, их назначение и разные мелочи, то заметим, что все они похожи своей формой. Все эти предметы напоминают геометрическое тело – цилиндр.

– Забавно! – задумались мальчишки. — Они и впрямь похожи формой. А расскажи нам про этот цилиндр поподробнее.

– С радостью! – ответил Мудряш. – Пусть у нас есть прямоугольник ОО₁А₁А. Давайте представим себе, что этот прямоугольник вращается вокруг одной из своих сторон, например вокруг стороны ОО₁. Посмотрите: в результате вращения получается фигура, которую и называют цилиндром.

Интересно знать, что слово «цилиндр» пришло к нам из Древней Греции от греческого слова κύλινδρος, которое переводится как «валик», «каток». Кстати, на рубеже 18–19 веков мужчины многих стран носили твёрдые шляпы с небольшими полями, которые так и называли цилиндрами из-за их большого сходства с геометрической фигурой цилиндром.

– А я видел такую шляпу, – вспомнил Паша, – в цилиндре ходила старуха Шапокляк, героиня мультфильма «Крокодил Гена».

– Ты очень внимательный! – похвалил Пашу Мудряш. – А теперь давайте более подробно рассмотрим нашу геометрическую фигуру цилиндр. При вращении сторон ОА и О₁А₁ образуются два равных круга. Их называют основаниями цилиндра. Радиус этих кругов называется радиусом цилиндра. При вращении стороны АА₁ образуется поверхность. Её называют боковой поверхностью цилиндра. Отрезок АА₁ называют образующей цилиндра. Длину отрезка ОО₁ называют высотой цилиндра.

Запомните! Цилиндр – это тело, ограниченное двумя равными кругами и боковой поверхностью.

– Посмотрите внимательно на экран, – продолжил Мудряш. – Перед вами изображена развёртка цилиндра. С помощью неё можно изготовить модель цилиндра. Скажите, из каких фигур состоит развёртка цилиндра?

– Развёртка цилиндра состоит из прямоугольника и двух равных кругов, – ответили мальчишки.

– Молодцы! – похвалил ребят Мудряш. – Обратите внимание: сторона АD прямоугольника равна длине окружности, ограничивающей основание цилиндра. В свою очередь, сторона АB равна высоте цилиндра. Если радиус основания цилиндра равен r, то длина стороны АD будет равна . Наш прямоугольник ABCD является боковой поверхностью цилиндра. Следовательно, площадь прямоугольника равна площади боковой поверхности цилиндра. Тогда скажите, как вычислить площадь боковой поверхности цилиндра?

– Площадь прямоугольника равна произведению длин его соседних сторон, – начали рассуждать мальчишки. – Так как площадь боковой поверхности цилиндра равна площади прямоугольника ABCD, то она будет равна произведению длины стороны АD и длины стороны АB.

– Правильно! – согласился Мудряш. – Если высота цилиндра равна h, то есть АB = h, а радиус его основания равен r, то площадь боковой поверхности этого цилиндра вычисляют по формуле: .

– А теперь давайте рассмотрим следующие предметы из нашего окружения, – продолжил Мудряш. – Что за предметы перед вами?

– Перед нами мороженое, дорожный конус, – начал Саша.

– Шляпа ведьмочки для Хэллоуина, колпак у Буратино, колпак для дня рождения, – дополнил Паша.

– Все эти предметы имеют форму конуса, – отметил Мудряш. – Конус – ещё один пример геометрического тела.

Пусть у нас есть прямоугольный треугольник АОB с прямым углом О. Давайте представим себе, что этот треугольник вращается вокруг стороны АО. В результате вращения нашего треугольника получится тело, которое и называется конусом.

Обратите внимание: при вращении стороны ОB получается круг. Его называют основанием конуса. Радиус круга называется радиусом конуса. А при вращении стороны АB получится поверхность, которая называется боковой поверхностью конуса. Отрезок АО называют высотой конуса, отрезок АB – образующей конуса, а точку А – вершиной конуса.

– А теперь посмотрите на экран – продолжил Мудряш. – Перед вами изображена развёртка конуса. Она состоит из сектора и круга. Отрезок АB равен образующей конуса, длина дуги сектора равна длине окружности, ограничивающей основание конуса.

– Есть и ещё одно интересное геометрическое тело, о котором я хотел вам рассказать, – сказал Мудряш. – Сейчас я покажу вам некоторые предметы из нашего окружения, которые имеют форму этого тела, и вы сразу угадаете, как оно называется.

– Апельсин, планеты, мяч, глобус, – начал перечислять Саша.

– Я понял, о каком геометрическом теле ты сейчас говоришь! – воскликнул Паша. – Все эти предметы имеют форму шара.

– Правильно! – согласился Мудряш. – Пусть у нас есть полукруг диаметра АB. Представим себе, что он вращается вокруг своего диаметра. В результате вращения нашего полукруга образуется фигура, которую называют шаром.

– А если бы у нас была полуокружность? – решили спросить мальчишки.

– При вращении полуокружности мы получим поверхность шара, – сказал Мудряш. – Такую геометрическую фигуру называют сферой. Оба слова «шар» и «сфера» происходят от греческого слова «сфайра», которое переводится на русский язык как «мяч», «шар».

Обратите внимание: центр, диаметр, радиус полукруга – это соответственно центр, диаметр, радиус шара и ограничивающей его сферы.

– Важно не путать понятия «шар» и «сфера», – продолжил Мудряш. – Можно сказать, что сфера – это как-бы оболочка или граница шара. Как окружность есть граница круга, так и сфера – это граница шара.

– Я понял, – сказал Паша. – Арбуз – это пример шара. Если мы его разрежем, то увидим внутри его содержимое. А вот мыльный пузырь – это пример сферы, так как пузырь пустой внутри, это всего лишь мыльная оболочка.

– Молодец! – похвалил Пашу Мудряш. – Конечно же, вы не раз наблюдали, а может быть даже и самим приходилось нарезать овощи и фрукты. Вы могли заметить, что от направления разреза зависит форма фигуры в сечении.

Шар примечателен тем, что сечением (разрезом) шара плоскостью всегда является круг. Если рассекать шар ближе к центру, то круги будут больше, если дальше от центра, то радиусы кругов будут меньше. Если плоскость сечения проходит через центр шара, то в сечении образуется круг, радиус которого равен радиусу шара.

– Раньше мы познакомились с такими геометрическими телами, как многогранники. А цилиндр, конус и шар относятся к какому-нибудь виду геометрических тел? – решили спросить мальчишки.

–  Все геометрические тела математики разделили на два вида: так называемые многогранники и тела вращения, – начал Мудряш. – Цилиндр, конус и шар – это примеры тел вращения.

– А теперь, ребята, давайте посмотрим, как вы всё поняли, и выполним несколько заданий.

Задание первое: цилиндр поместили в прямоугольный параллелепипед так, как показано на рисунке. Определите, чему равна высота цилиндра. Найдите диаметр основания цилиндра, радиус основания цилиндра.

Решение: высота прямоугольного параллелепипеда равна 8 сантиметрам. Так как цилиндр полностью вписан в прямоугольный параллелепипед, то высота цилиндра будет равна высоте прямоугольного параллелепипеда. Следовательно, высота цилиндра равна 8 сантиметрам. Основание цилиндра полностью вписано в основание прямоугольного параллелепипеда. Значит, диаметр основания цилиндра будет равен длине стороны основания прямоугольного параллелепипеда. Следовательно, диаметр основания цилиндра равен 10 сантиметрам. Мы знаем, что диаметр в 2 раза больше радиуса круга. Значит, радиус основания цилиндра равен 5 сантиметрам. Запишем ответ: высота цилиндра равна 8 сантиметрам, диаметр основания цилиндра равен 10 сантиметрам, радиус основания цилиндра равен 5 сантиметрам.

Задание второе: шар помещён в куб так, что он касается всех его граней. Ребро куба равно 8 сантиметрам. Определите, сколько точек соприкосновения имеют шар и куб. Найдите диаметр шара, радиус шара.

Решение: по условию сказано, что шар помещён в куб так, что он касается всех его граней. Несложно заметить, что каждую грань куба шар касается в одной точке. Так как куб состоит из 6 равных граней, то шар и куб имеют 6 точек соприкосновения. Диаметр шара будет равен длине ребра куба. Значит, диаметр равен 8 сантиметрам. Мы знаем, что диаметр в 2 раза больше радиуса круга. Значит, радиус шара равен 4 сантиметрам. Запишем ответ: шар и куб имеют шесть точек соприкосновения, диаметр шара равен 8 сантиметрам, радиус шара равен 4 сантиметрам.