Длина окружности. Площадь круга

Представим себе такую историю…

– Паша, чем ты занимаешься? – спросил у друга Саша.

– Решил обновить шины на моём велосипеде, – ответил Паша. – Чтобы купить новые, мне нужно знать размер колеса.

– И как же ты узнаешь этот размер? – решил уточнить Саша.

– Для этого мне нужно измерить длину шины велосипедного колеса, – ответил Паша.

– А как измерить эту длину? – удивился Саша. – Ты же не будешь для этого резать шину?

– Да это же совсем просто! – улыбнулся Паша. – Я взял сантиметровую ленту у мамы и ей измерил длину шины.

– И точно, всё просто! – согласился Саша. – И что же у тебя вышло?

– Длина шины моего колеса равна 189 сантиметрам.

– Это значит, размер твоего велосипедного колеса 189 сантиметров? – решил уточнить Саша.

– Нет, – ответил Паша, – а вот чтобы выяснить размер велосипедного колеса, нужно как-то из длины шины выразить диаметр. А как это сделать, я не знаю.

– Ну чего же ты расстраиваешься?! – воскликнул Саша. – Давай спросим у Мудряша. Он точно сможет нам помочь.

– Ребята, прежде чем я отвечу на ваш вопрос, давайте немного разомнёмся и выполним устные задания, – предложил Мудряш.

– Давайте сверимся! – сказал Мудряш. — Посмотрите, что у вас должно было получиться!

– Ну а теперь вернёмся к вашему вопросу, – начал Мудряш. – Всё правильно. Чтобы выяснить, какой размер у велосипедного колеса, нужно знать его диаметр. Но для начала давайте определим, какую форму имеет велосипедное колесо.

– Велосипедное колесо имеет форму окружности, – ответили мальчишки.

– Верно! – согласился Мудряш. – Зная длину окружности, можно вычислить её диаметр.

– А как измерить длину окружности? – решили спросить мальчишки. – Ведь длину окружности не измеряешь сантиметровой лентой. Да и разрезать её не получится, чтобы измерить линейкой.

– Изобретательный ум человека придумал много способов решения этой задачи, – начал Мудряш. – Обозначим длину окружности буквой l. Несложно догадаться, что длина l окружности зависит от длины её диаметра d, а именно: чем больше диаметр, тем больше будет длина окружности. Другими словами, длина окружности прямо пропорциональна её диаметру.

Но, оказывается, для всех окружностей отношение длины окружности к её диаметру является одним и тем же числом .

Это число обозначают греческой буквой. Читают эту букву . Это начальная буква греческого слова perimetron, которое и означает «окружность». Запомните! Отношение длины окружности к её диаметру равно числу . Отсюда можем записать, что длину окружности можно вычислить по формуле . Вы уже знаете, что диаметр в 2 раза больше радиуса, следовательно, можно получить ещё одну формулу для вычисления длины окружности: .

– Тогда получается, чтобы выразить диаметр окружности, а в моём случае — диаметр велосипедного колеса, – начал Паша, – нужно длину окружности разделить на это число ?

– Правильно! – ответил Мудряш.

– Но разве можно разделить число на букву? – спросил Паша. – Или это загадочное число  имеет какое-то значение?

– Давайте немного коснёмся истории, – предложил Мудряш. – Ещё в Древнем Египте было замечено, что длина окружности примерно в 3 раза больше её диаметра, то есть древние египтяне считали, что число . Затем древние учёные установили, что число . Позднее выяснилось, что  – это достаточно точное, но всё-таки приблизительное значение числа . Со временем великий древнегреческий учёный Архимед доказал, что число . Французский математик Франсуа Виет вычислил значение числа  с девятью правильными знаками после запятой (). А вот уже в 18 веке математики установили, что число  относится к таким числам, точное значение которых записать невозможно ни с помощью обыкновенных, ни с помощью десятичных дробей, то есть число  нельзя представить в виде конечной десятичной дроби или бесконечной периодической десятичной дроби. Оно выражается бесконечной непериодической десятичной дробью. Учёные до сих пор проявляют большой интерес к числу . С появлением современных компьютеров можно вычислить число  с огромной точностью. Так, например, в 1987 году благодаря расчётам на компьютере братья Чудновские вывели число  с миллионом символов после запятой. В 2009 году учёные из Японии рассчитали на суперкомпьютере значение числа  с двумя с половиной миллионами знаков после запятой. В этом же году программист из Франции Фабрис Беллар с помощью компьютера получил 2 699 999 990 000 символов после запятой. Только представьте себе, его расчёты длились 131 день.

– Ого! – воскликнули ребята. – Это число  такое большущее!

– Не пугайтесь числа , – продолжил Мудряш. – При вычислениях мы чаще всего будем использовать приближённое значение числа  с точностью до сотых, то есть .

– Тогда получается, что диаметр моего велосипедного колеса равен 189 разделить на 3,14, – начал считать Паша, – и приближённо равен 60 сантиметрам.

– Молодец! – похвалил Пашу Мудряш. – Кстати, с помощью нашего интересного числа  можно вычислить ещё и площадь круга. Запомните! Площадь круга  радиуса  вычисляется по формуле: . Для вывода этой формулы наших математических знаний пока ещё недостаточно. Как получают эту формулу, вы узнаете в старших классах. Поэтому пока для решения задач мы будем использовать готовую формулу.

– А теперь, ребята, давайте посмотрим, как вы всё поняли, и выполним несколько заданий.

Задание первое: найдите длину окружности, если известно, что: её радиус равен 24 сантиметрам; её диаметр равен 9,5 дециметра. Число  округлите до сотых.

Решение: мы знаем, что длина окружности вычисляется по формуле . Подставим наши значения в формулу. Посчитаем. Получим, что длина окружности приближённо равна 150,72 сантиметра.

Перейдём к следующему условию. Нам известен диаметр окружности. Мы знаем, что длину окружности можно вычислить по формуле . Подставим наши значения. Посчитаем. И получим, что длина окружности приближённо равна 29,83 дециметра.

Задание второе: найдите диаметр колеса велосипеда, если известно, что на расстоянии 450 метров оно сделало 150 оборотов. Число  округлите до сотых. Результат округлите до сотых метра.

Решение: для начала вычислим, чему равна длина окружности колеса. Так как на расстоянии 450 метров колесо сделало 150 оборотов, то 1 оборот колеса равен 3 метрам. Полный оборот колеса – это и есть длина окружности. А теперь вычислим диаметр колеса. Из формулы длины окружности выразим диаметр . Подставим наши значения. Получим, что диаметр колеса примерно равен 0,955 метра. В условии задачи сказано, что ответ нужно округлить со сотых. Так как после округляемого разряда стоит цифра 5, то к разряду сотых добавим 1. Получим, что диаметр колеса приближённо равен 0,96 метра. Запишем ответ.

Задание третье: вычислите площадь круга, если его диаметр равен 6 сантиметрам. Число  округлите до сотых.

Решение: мы знаем, что площадь круга можно вычислить по формуле . Диаметр круга в 2 раза больше его радиуса. Следовательно, радиус нашего круга равен 3 сантиметрам. Подставим наши значения в формулу площади круга. Посчитаем. Получим, что площадь круга приближённо равна 28,26 см².

И последнее задание: Сторона квадрата равна 8 сантиметрам. Найдите площадь закрашенной части круга. Число  округлите до целых.

Решение: по рисунку видно, что сторона квадрата является диаметром круга. Значит, диаметр круга равен 8 сантиметрам. Мы знаем, что площадь круга можно вычислить по формуле . Так как диаметр круга в 2 раза больше его радиуса, то радиус нашего круга равен 4 сантиметрам. Подставим наши значения в формулу площади круга. Посчитаем. Получим, что площадь всего круга приближённо равна 48 см². По условию задачи нам нужно выяснить, чему равна площадь закрашенной части круга. Нетрудно заметить, что эта закрашенная часть составляет половину круга. Значит, площадь закрашенной части круга приближённо равна 24 см². Не забудем записать ответ.