Вопросы занятия:
• вывести формулу числа сочетаний из n элементов по k;
• вывести формулу числа размещений из n элементов по k;
• познакомить с треугольником Паскаля и с закономерностью получения его чисел.
Материал урока
На прошлых занятиях мы работали с определением вероятности случайного события и с его помощью вычисляли вероятности.
Так же мы активно применяли правило умножения.
Из курса алгебры 9 класса вам известны понятие факториал и теорема о перестановках.
Вспомним их.
Определение.
Произведение подряд идущих первых n натуральных чисел называют n факториал.
Теорема 1.
Решим задачу.
Школьники смастерили 4 скворечника.
Сколькими способами в них могут разместиться 4 скворца?
Решение заключается в том, чтобы найти число перестановок из четырёх элементов.
Сколькими же способами в них могут разместиться 4 скворца, если один прилетела раньше всех и уже занял себе домик?
Понятно, что остаётся разместить оставшиеся 3 птицы в 3 домика.
А теперь представим себе такую ситуацию. Каждые 2 из 7 городов соединены мостами. Определим их количество.
Представим города в виде точек. Каждый мост соединяет только 2 города.
И пользуясь комбинаторным правилом умножения, число мостов можно найти так. Первый город можно выбрать семью способами, а второй — шестью. Но ведь тогда каждый мост будет посчитан два раза, а нам не важен порядок выбора городов. Значит, нужно всё разделить на два.
Запишем теорему о выборе двух элементов.
Теорема 2.
Определение.
Тогда теорему 2 кратко можно записать в виде формулы.
Решим задачу.
Рассмотрим другую ситуацию.
Пример.
Теорема 3.
Определение.
Тогда теорему можно записать так:
Решим задачу.
Запишем определения.
Число всех выборов k элементов из n данных без учёта порядка называют числом сочетаний из n элементов по k.
Число всех выборов k элементов из n данных с учётом их порядка называют числом размещений из n элементов по k.
Как же находить число сочетаний и размещений из n элементов по k?
Запишем теорему.
Теорема 4.
Для любых натуральных чисел n и k, таких, что k < n, справедливы следующие соотношения.
Этими формулами мы и будем пользоваться при вычислении числа сочетаний и размещений.
Решим уравнение.
Так мы с помощью изученных формул решили уравнение, а теперь решим задачу.
Пример.
Для чисел сочетаний из эн элементов по ка существует красивый и удобный способ их записи с помощью треугольной таблицы, её называют треугольник Паскаля.
Он выглядит так.
Закономерность образования строк заключается в следующем: каждое число в треугольнике Паскаля равно сумме двух чисел, стоящих над ним в предыдущей строке. 5=1+4, 10=4+6, 6=3+3 и так далее.
Кратко эту закономерность можно записать в виде такой формулы.
Подведём итоги нашего урока.
Сегодня мы рассмотрели такие инструменты комбинаторики как сочетание и размещение.
Познакомились с формулами отыскания числа сочетаний и размещений из эн элементов по ка. Выяснили, в чём их отличие друг от друга.
А также рассмотрели примеры решения задач с помощью этих инструментов.