Простейшие вероятностные задачи

Вопросы занятия:

• рассмотреть решение простейших вероятностных задач;

• применить на практике понятия: «классическое определение вероятности», «правило умножения», «достоверные и независимые события», «противоположные события».

Материал урока

Из курса алгебры 9 класса вам известен самый простой способ отыскания вероятности случайного события, который даёт классическое определение вероятности.

Определение.

Вероятностью события А при проведении некоторого испытания называют отношение числа тех исходов, в результате которых наступает событие А, к общему числу всех (равновозможных между собой) исходов этого испытания.

Исходя из определения, можно сформулировать алгоритм нахождения вероятностей случайного события:

Практически всегда при решении задач практического содержания мы прибегаем к построению математической модели.

Вспомним эксперименты с подбрасыванием монеты.

Например, английский математик Карл Пирсон бросал монету 24 тысячи раз, и p = 0,5005.

А наш соотечественник, Всеволод Иванович Романовский, подбрасывая монету 80 тысяч 640 раз, нашёл, что p = 0,4923.

Ну, а если находить вероятность выпадения орла классическим способом. То мы получим одну вторую.

В данном случае мы предполагаем, что монета имеет правильную геометрическую форму. Поэтому шансы выпадения орла или решки одинаковы.

Эти примеры позволяют увидеть, что в отличие от статистической обработки данных, работающей с конкретными данными, полученными в ходе измерений, теория вероятностей имеет дело с некоторыми идеальными представлениями о реальных событиях.

Решим задачу.

В связке шаров 14 красных, 13 синих, 11 зелёных и 10 жёлтых. Лента одного шарика развязалась, и он улетел. Какова вероятность того, что улетел: красный шар; зелёный или синий; красный, зелёный или жёлтый.

В каждом случае возможно 48 исходов.

Найдём вероятность того, что улетел красный шар. Число исходов, в которых произойдёт рассматриваемое событие, равно 14. Тогда вероятность данного события равна:

Найдём вероятность события «улетел зелёный или синий шар».

Найдём вероятность того, что улетел красный, зелёный или жёлтый шар.

При подсчёте вероятностей иногда удобно использовать правило умножения:

Для того чтобы найти число всех равновозможных исходов независимого проведения двух испытаний А и Б, следует перемножить число всех исходов испытания А и число всех исходов испытания Б.

Решим задачу.

Игральный кубик подбрасывают 2 раза и находят сумму выпавших очков. Необходимо найти вероятности того, что сумма: равна 6; меньше 2; больше 1; меньше 11.

При подбрасывании  каждого кубика возможно 6 различных исходов. Значит, число всех возможных исходов при двукратном подбрасывании кубика равно 36.

Определим вероятность того, что полученная сумма равна 6.

Перечислим все исходы, когда произойдёт интересующее нас событие. 6 в сумме дают следующие пары: 1 5, 5 1, 2 4, 4 2 и 3 3. Получаем 5 таких исходов.

Найдём искомую вероятность.

Следующее событие «сумма очков меньше 2». Наименьшая сумма очков равна двум. И никак не может быть меньше.

Значит, вероятность данного события равна нулю.

Говоря о следующем событие, когда сумма больше одного, можно заметить что при любом исходе оно произойдёт. Ведь наименьшая сумма очков равна двум.

Получим, что вероятность этого события равна одному.

Рассмотрим последнее событие «сумма очков меньше одиннадцати».

Перечислить исходы, когда оно произойдёт достаточно сложно. Проще сказать, когда оно не произойдёт. Таких исхода три — случаи, когда сумма больше либо равна одиннадцати.

Если наше событие не произойдёт при трёх исходах, значит, оно случиться при всех остальных тридцати трёх.

Вероятность рассматриваемого события равна:

Определение.

Событие, вероятность которого равна нулю, называют невозможным, оно не наступает никогда.

Определение.

Достоверное – событие, вероятность которого всегда равна одному. Это событие обязательно наступает при любом из исходов.

Сумма вероятностей противоположных событий равна одному.

Решим ещё одну задачу.

Ученику предложили записать на доске любое натуральное число от ста до двухсот, не включая 100 и 200. Найдём вероятность того, что:

это число нечётно; среди цифр этого числа есть 3; это число не является кубом целого числа; сумма его цифр больше трёх.

Для начала определим число всех возможных исходов. Всего 99 чисел больших ста и меньших двухсот.

Среди них чётных — 49. А нечётных — 50. Вероятность того, что записанное число нечётно, равна:

Найдём вероятность того, что это число содержит цифру 3.

Можно перечислить все числа из этого промежутка, содержащие цифру 3. Таких чисел 19.

Вероятность того, что записанное число будет содержать цифру 3, равна:

Рассмотрим событие «записанное число не является кубом целого числа». Среди всех возможных исходов есть только одно число, которое является кубом целого числа. Это число 125.

Рассмотрим противоположное событие «записанное число является кубом целого числа» и вычислим его вероятность. Она равна:

По формуле, связывающей вероятности противоположных событий, найдём:

И последнее событие, которое мы рассмотрим — это «сумма цифр записанного числа больше трёх».

Перейдём к противоположному событию, то есть «сумма цифр числа меньше либо равна трём». Число исходов, в которых оно наступает равно пяти.

Вероятность противоположного события равна:

Тогда вероятность события Г равна:

Итоги урока:

Мы с вами решили несколько задач, где применили определение вероятности случайного события, а также правило умножения.

Повторили, какие события называют невозможными и достоверными, и чему равны их вероятности.

А также узнали, что:

Вы видите, что перечисление всех возможных вариантов и вариантов, в которых происходит то или иное событие, достаточно трудоёмкий процесс.

Для произведения таких подсчётов обычно применяют инструменты комбинаторики.

О них то мы и поговорим на следующем уроке.