Получите свидетельство
Вход
«Науку все глубже постигнуть стремись,
Познанием вечного жаждой томись.
Лишь первых познаний блеснет тебе свет,
Узнаешь: предела для знания нет»
Фирдоуси
Данная тема посвящена гармоническим колебаниям.
Задача
1.
Материальная точка совершает гармонические колебания по закону 
.
Найдите амплитуду и частоту колебаний. Также найдите промежуток времени, после
которого материальная точка первый раз возвращается в исходное положение.
|
ДАНО:
|
РЕШЕНИЕ Уравнение гармонических колебаний в общем виде может быть записано как
Из заданного уравнения следует, что
Исходное положение
Период колебаний определяется по формуле
Циклическая частота равна
Тогда получаем, что
|
|
|
Ответ: А = 0,3 м; ν = 0,5 Гц, t = 2 с.
Задача 2. Запишите уравнение гармонического колебательного движения с амплитудой 40 см, если за 2 минуты совершается 180 колебаний. Начальная фаза равна нулю. Постройте соответствующий график.
|
ДАНО:
|
СИ
|
РЕШЕНИЕ Запишем уравнение гармонических колебаний в общем виде
Из условия задачи известно
Период колебаний можно определить по следующим формулам
Приравняв эти формулы, получим, что циклическая частота равна
Тогда уравнение гармонических колебаний примет вид
Для данного уравнения зависимость координат от времени будет иметь вид
|
|
|
Задача 3. Известно, что материальная точка совершает гармонические колебания по синусоиде с нулевым сдвигом фаз. За 15 с точка совершила 5 колебаний. Найдите массу материальной точки, если в момент времени t = 10 с на неё действует возвращающая сила, равная 0,1 Н и при отклонении от положения равновесия на 50 см, скорость точки равна нулю.
|
ДАНО:
|
СИ
|
РЕШЕНИЕ Запишем уравнение, описывающее гармонические колебания в общем виде
Т.к. по условию задачи
Циклическая частота определяется по формуле
Возвращающая сила описывается уравнением
Тогда искомая масса материальной точки равна
|
|
|
Ответ: 530 г.
Задача
4.
Материальная точка совершает гармонические колебания вдоль оси икс по закону 
.
Найдите пройденный путь и перемещение точки за 5 мин.
|
ДАНО:
|
СИ
|
РЕШЕНИЕ Запишем уравнение гармонических колебаний в общем виде
Т.к. по условию задачи задано уравнение
То с лёгкостью можно определить, что
Циклическая частота определяется по формуле
Тогда количество колебаний
Теперь разберёмся, какой путь проходит материальная точка за одно колебание. Из положения равновесия точка доходит до максимального отклонения (очевидно, что пройденный путь в этом случае равен амплитуде). После этого, точка доходит до максимального отклонения в другую сторону (в этом случае путь равен удвоенной амплитуде). Ну а после, точка возвращается в исходное положение (снова пройдя путь, равный амплитуде). Это и есть одно полное колебание. Таким образом, за одно колебание материальная точка проходит путь, равный четырём амплитудам.
Тогда пройденный путь будет равен
А перемещение равно
|
|
|
Ответ: пройденный путь – 400 м, перемещение – 0.
Задача 5. Кинетическая энергия материальной точки массой 5 г обращается в ноль 10 раз за секунду. Известно, что в момент времени t = 1,5 с, кинетическая энергия равна 25 мДж. Найдите амплитуду колебаний, если сдвиг фаз равен 0,25 p.
|
ДАНО:
|
СИ
|
РЕШЕНИЕ Уравнение гармонических колебаний в общем виде
Из положения равновесия точка доходит до максимального отклонения (в этот момент скорость и, соответственно, кинетическая энергия равна нулю). После этого, точка доходит до максимального отклонения в другую сторону (и вновь в этой точке кинетическая энергия равна нулю). Ну а после, точка возвращается в исходное положение. Это и есть одно полное колебание. Таким образом, мы выяснили, что за одно полное колебание кинетическая энергия дважды обращается в ноль. Значит, материальная точка совершает пять колебаний в секунду
Циклическая частота определяется по формуле
Скорость колебаний в общем виде может быть представлено уравнением
Кинетическая энергия определяется по формуле
Тогда зависимость кинетической энергии от времени может быть представлена уравнением
Т.к. в момент времени 1,5 с кинетическая энергия равна 25 мДж, то получаем
|
|
|
Ответ: 0,1 м.
0
2632
