Замечательные кривые

Давайте с вами возьмём плотный лист бумаги, прикрепим к нему в двух точках нитку и натянем карандашом эту нитку. Теперь, двигая карандаш и натягивая нитку, нарисуем линию.

Линия, которая у нас получилась, называется эллипсом. Заданные две точки называются фокусами эллипса.

Обратите внимание, что все точки эллипса обладают следующим свойством: сумма расстояний от любой точки эллипса до его фокусов постоянна.

Эллипсы в нашей жизни встречаются гораздо чаще, чем кажется. Так, например, когда мы режем наискосок колбасу, то получающееся сечение имеет эллиптическую форму. Планеты движутся вокруг Солнца по эллиптическим орбитам, причём Солнце находится в одном из фокусов. В архитектуре встречаются элементы, которые напоминают нам эллипс.

Окружность – частный случай эллипса, она получается, если фокусы эллипса совпадают.

На одном из предыдущих занятий мы говорили об окружности и её элементах. Мы научились её строить с помощью циркуля.

Познакомимся со следующей замечательной кривой – гиперболой.

Для этой кривой мы не можем предложить, как в предыдущем случае, достаточно простой способ, позволяющий вычертить гиперболу и одновременно показывающий её основное свойство. Поэтому сразу сформулируем основное свойство, задающее гиперболу.

Гипербола – это линия, для всех точек которой разность расстояний до двух заданных точек плоскости (фокусов гиперболы) есть величина постоянная.

То есть можем записать следующее равенство: .

Вы обратили внимание, что гипербола состоит из двух частей (двух отдельных ветвей). Все точки одной ветви ближе к одному фокусу (соответствующим образом берётся и разность расстояний), а другой ветви к другому фокусу.

Теперь познакомимся с параболой. Возьмём на плоскости прямую l и точку F.  Затем отметим на плоскости точку М, которая равноудалена от точки F и от прямой l. Расстояние от точки до прямой – это длина перпендикуляра, проведённого из этой точки к данной прямой. Тогда можем записать, что .

Такие точки (равноудалённые от точки F и от прямой l) описывают замечательную кривую, которая называется параболой.

Эта замечательная кривая не так уж редка в природе. Камень, брошенный человеком под углом к поверхности Земли, описывает параболу.

Ну а теперь поговорим о конусе. Наверное, каждый из вас представляет, что такое конус. Крыши башен часто имеют форму конуса. Архитекторы часто используют такие формы для создания эффекта устремлённости здания вверх.

Конус состоит из двух частей (пол), имеющих общую вершину. Из листа бумаги можно свернуть одну часть.

Математики определяют конус следующим образом. Итак, возьмём окружность и точку над её центром. Эта точка – вершина конуса. Проводя прямые, соединяющие всевозможные точки окружности с вершиной, получим коническую поверхность.

Конус можно пересечь плоскостью по окружности. А вот если плоскость сечения наклонять, то получим эллипс. И чем больше мы будем наклонять плоскость сечения, тем всё более вытянутые эллипсы будут получаться.

И в конце концов эллипс превратится в параболу. При этом мы сечением задеваем только одну «полу» конуса.

Продолжая наклонять плоскость дальше, мы пересечём и вторую «полу». Тогда появятся две ветви и парабола перейдёт в гиперболу.

Итак, можем сделать вывод, что все рассмотренные выше линии (эллипс, гипербола и парабола) объединяются общим свойством. Каждая из них может быть получена при пересечении конуса плоскостью. Поэтому их называют коническими сечениями.

Сейчас давайте посмотрим на равномерно вращающийся диск, по радиусу которого ползёт муравей. Проползая вперёд, он одновременно смещается в сторону вращения диска.

Таким образом, путь муравья представляет собой кривую, которая называется спиралью Архимеда. «Спираль» в переводе с латыни означает «изгиб», «извив».

В природе спираль Архимеда встречается на каждом шагу.

Теперь сделаем из плотной бумаги, свернув её несколько раз, трубочку. Разрежем эту трубочку наклонно. Если трубочку не разворачивать, то в сечении будет эллипс.

А вот если трубочку развернуть, то посмотрите, какую линию образует разрез.

Перерисуем эту линию… Это одна из замечательных кривых, которую называют синусоидой.

Далее вырежем из картона два одинаковых круга. Один из них закрепим неподвижно. Второй круг приложим к первому и отметим на его краю точку, которая наиболее удалена от центра первого круга. Теперь прокатим без скольжения подвижный круг по неподвижному. Обратите внимание, какую линию описала точка.

Начертим эту линию.

Она называется кардиоидой. Такое название она получила из-за сходства с сердцем. Греческое слово «кардио» означает «сердце».

Теперь представим, что по прямой линии без скольжения катится круг, на границе окружности которого взята точка. Посмотрите на траекторию, которую опишет при этом точка. Получившаяся кривая называется циклоидой.

Циклоида обладает многими замечательными свойствами. Вот, например, одно из них. Давно математики пытались решить вот такую задачу: какой формы должен быть гладкий жёлоб, соединяющий две точки – А и B (А выше, чем B), чтобы гладкий металлический шарик скатился по этому жёлобу из точки А в точку B под действием своего веса за кратчайшее время?

Можно подумать, что жёлоб должен быть прямолинейным. Но это не так.

Может быть, жёлоб нужно выгнуть по дуге окружности? Так же думал и великий итальянский физик, астроном и математик Галилео Галилей, живший на рубеже 16-17 веков, но он ошибался.

Иоганн Бернулли – швейцарский математик, механик, врач и филолог-классицист – в одна тысяча шестьсот девяноста шестом году установил, что жёлоб должен быть выгнут по циклоиде, опрокинутой вниз.

Получается, что, скатываясь на санях по снежной горке, форма которой близка к опрокинутой циклоиде, мы окажемся у основания этой горки быстрее, чем в случае другой формы горки.

Сейчас возьмём кусок толстого картона и вырежем в нём круг радиусом 12 см. Из такого же картона вырежем три круга радиусами 4 см, 3 см и 2 см.

Далее вложим в круглое отверстие в картоне круг радиусом 4 см, чтобы он касался края. При этом на окружности этого круга отметим точку А.

Проследим за тем, какую линию опишет отмеченная точка А, когда кружок покатится по окружности выреза без скольжения. Посмотрите, какая линия получилась…

Проделаем то же самое с кругом с радиусом 3 см. Посмотрите, какую линию при этом описала точка А…

И проделаем то же самое ещё раз, но с кругом с радиусом 2 сантиметра. Посмотрите, какую линию описала точка А сейчас…