Равновесие абсолютно твёрдого тела

Мы с вами уже долгое время изучаем различные взаимодействия тел, основным признаком которых является появление у тел ускорений. Но бывают случаи, когда нам необходимо знать, при каких условиях тело, на которое действуют несколько сил одновременно, движется прямолинейно и равномерно или же находится в состоянии покоя. Конечно же, в последнем случае мы всегда можем выбрать другую инерциальную систему отсчёта, в которой тело будет покоиться. В этом случае говорят, что тело находится в равновесии. Поэтому в дальнейшем мы с вами будем изучать условия равновесия покоящихся тел. Задача эта имеет огромное практическое значение для машиностроения, строительного дела и других областей техники.

Но прежде чем приступить к изучению этих условий, нам с вами необходимо вспомнить понятие абсолютно твёрдого тела. Итак, абсолютно твёрдое тело — это тело, размеры и форму которого можно считать неизменными при любых взаимодействиях тела. В дальнейшем для краткости абсолютно твёрдое тело мы с вами будем называть твёрдым телом или просто телом.

Раздел механики, в котором изучают условия равновесия абсолютно твёрдых тел, называется статикой. Её главным отличием от кинематики и динамики является то, что в ней необходимо учитывать не только размеры и форму тел, но и точки приложения сил.

Изучая законы Ньютона, мы с вами говорили о том, что если на тело действуют одновременно несколько сил, но при этом оно покоится или движется прямолинейно и равномерно, то из второго закона Ньютона следует, что векторная сумма всех сил, приложенных к телу, равна нулю:

Это следствие из второго закона Ньютона называют первым условием равновесия тела. Из него следует, что и сумма проекций всех сил на любое направление тоже должна быть равна нулю. И несмотря на то, что последние три уравнения эквивалентны одному векторному равенству, с их помощью достаточно просто решать задачи.

Первое условие равновесия тела является необходимым, но не является достаточным. Убедимся в этом. Для этого рассмотрим простой пример. Вот у нас есть деревянный брусок. Что произойдёт, если мы к его концам приложим две равные по модулю, но противоположные по направлению силы? Правильно, он начнёт вращаться, несмотря на то, что геометрическая сумма действующих на него сил равна нулю. Точно так же две одинаковые по модулю и противоположно направленные силы поворачивают руль велосипеда или автомобиля.

Следовательно, необходимо ещё одно условие, при котором твёрдое тело может находиться в равновесии. Для его поиска рассмотрим тело с закреплённой осью вращения. Этот простой механизм известен нам ещё с седьмого класса как рычаг первого рода.

Итак, пусть на концы рычага действуют две силы F₁ и F₂, направленные в одну сторону. Кроме этих двух сил на рычаг будет действовать и сила нормальной реакции со стороны оси рычага. Очевидно, что при равновесии рычага геометрическая сумма этих трёх сил равна нулю:

Теперь предположим, что под действием внешних сил рычаг повернулся на очень малый угол φ. При этом точки приложения внешних сил пройдут некоторые пути, которые, в силу малости угла поворота, можно считать прямыми отрезками. А раз точки приложения сил совершили перемещения, то сами силы совершили работу. При этом сила F₁ совершила положительную работу, так как точка В перемещалась по направлению действия силы. А работа силы F₂ отрицательна, поскольку точка С двигалась в сторону, противоположную направлению силы. Сила же F₃ работу не совершала, так как точка её приложения не двигалась.

Пройденные точками В и С пути мы можем выразить из прямоугольных треугольников через угол поворота, измеренного в радианах:

А теперь давайте вспомним, что кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы называется плечом силы. Обозначив плечи сил F₁ и F₂ через d₁ и d₂ соответственно, перепишем уравнения для работ сил с учётом введённых нами обозначений:

Обратите внимание на вот эти множители. Ещё в седьмом классе мы с вами говорили о том, что произведение модуля силы на её плечо называется моментом силы относительно оси вращения.

Сразу же условимся считать момент силы положительным, если сила стремится повернуть тело по ходу часовой стрелки, а отрицательным — если против хода часовой стрелки (но никто вам не запрещает считать наоборот).

Тогда можно записать, что работа каждой из сил равна произведению момента силы на угол поворота рычага:

А суммарная работа, совершаемая внешними силами, — это сумма работ, совершаемых каждой из сил в отдельности:

С другой стороны, эту же работу мы могли бы найти и на основании теоремы о кинетической энергии:

Но при равновесии скорость не изменяется. А это значит, что изменение кинетической энергии тела равно нулю. Поэтому и работа внешних сил равна нулю. А так как угол поворота рычага отличен от нуля, то тогда должна быть равна нулю сумма моментов внешних сил:

Отсюда следует, что тело, имеющее неподвижную ось вращения, находится в равновесии, если алгебраическая сумма моментов сил, приложенных к телу, относительно этой оси́ равна нулю. Это и есть второе условие равновесия твёрдого тела.

Таким образом, в общем случае тело будет находится в равновесии, если геометрическая сумма приложенных к телу сил и алгебраическая сумма моментов этих сил относительно любой оси равны нулю.

Обратим ваше внимание на то, что эти условия равновесия применимы только для абсолютно твёрдых тел. Покажем это. Предположим, что у нас есть кусок резинового шнура. Приложим к его концам две одинаковые по модулю, но направленные вдоль шнура в противоположные стороны силы.

Их геометрическая сумма равна нулю? Равна. А сумма моментов этих сил? Тоже равна нулю, причём относительно оси́, проходящей через любую точку шнура. Но шнур при этом не находится в равновесии — он растягивается.

В механике очень часто необходимо знать, в каких случаях тело может сколь угодно долго оставаться в равновесии, если оно находилось в покое в начальный момент времени. Конечно же, должны выполняться условия равновесия, рассмотренные нами ранее. Однако не во всяком равновесии тело, находящееся в начальный момент времени в покое, будет покоится и в последующие моменты времени. Ведь в реальных условиях оно испытывает и случайные неучитываемые нами воздействия.

Поэтому в механике принято различать три вида равновесий: устойчивое, неустойчивое и безразличное.

Рассмотрим их на таком примере. Пусть у нас есть игрушечная машинка, находящаяся в равновесии на некой выпуклой поверхности, и в начальный момент времени действующие на неё сила тяжести и сила нормальной реакции опоры уравновешивают друг друга.

Слегка толкнём машинку — она отклонится от своего первоначального положения. Теперь силы тяжести и нормальной реакции опоры уже не могут уравновесить друг друга. А их равнодействующая, как видно из рисунка, направлена от положения равновесия и вызывает дальнейшее отклонение игрушки. Такое равновесие тела называется неустойчивым.

Итак, наша чудо машинка скатилась с горки и попала на абсолютно ровную и гладкую поверхность.

Теперь вновь сила тяжести и сила нормальной реакции опоры уравновешивают друг друга. При этом смещение машинки в любом направлении не изменяет действующих на неё сил и её равновесие сохраняется. Такое состояние тела называют безразличным равновесием.

Но вот горизонтальный участок пути закончился, и наша машинка попадает в ямку. Сила тяжести и сила нормальной реакции опоры уже не могут уравновесить друг друга, а их равнодействующая направлена к центру ямы. Достигнув дна, силы тяжести и нормальной реакции вновь направлены вдоль одной прямой в противоположные стороны.

Следовательно, в этом положении машинка находится в равновесии. Дальше наша игрушка, согласно закону инерции, продолжит движение и начнёт подниматься вверх. Равновесие нарушается. Но посмотрите: возникающая равнодействующая сила направлена к положению равновесия, пытаясь вернуть туда машинку. Таким образом, если при отклонении тела от положения равновесия возникают силы, возвращающие его в это положение, то равновесие тела называется устойчивым.