Отрицание утверждения

Ребята, прежде чем приступить к изучению новой темы, напомним, что в математике важную роль играют утверждения, о которых определённо можно судить, истинны они или ложны. Такие утверждения называют высказываниями.

Высказывание – это утверждение, которое либо истинно, либо ложно.

Также напомним, что пример, который противоречит утверждению, называют контрпримером.

Так, контрпримером к утверждению «Каждый прямоугольник является квадратом»

будет, например, прямоугольник со сторонами  см и  см, который квадратом не является.

Сегодня на занятии научимся строить отрицание к утверждению. Для простоты давайте будем обозначать утверждения буквами.

Итак, отрицание утверждения А – это такое утверждение B, что если А истинно, то B ложно, и наоборот, если А ложно, то B истинно.

Про отрицание утверждения А можно кратко сказать «не А» или «неверно, что А».

Из двух утверждений А и «не А» одно и только одно может быть истинно. Если утверждение А истинно, то утверждение «не А» ложно, и наоборот.

Обратите внимание, что если в результате рассуждений получается, что одновременно верны и какое-то утверждение, и его отрицание, то в рассуждениях имеется логическая ошибка или сделано ошибочное предположение.

Давайте рассмотрим пример. Ребята, как вы думаете, будет ли утверждение «Этот помидор жёлтый» отрицанием к утверждению «Этот помидор красный»?

Очевидно, что не будет, ведь помидор может быть зелёным или розовым, и тогда оба утверждения будут ложны. Правильное отрицание к утверждению «Этот помидор красный» – утверждение «Этот помидор не красный» или «Неверно, что этот помидор красный».

Рассмотрим ещё один пример. Утверждение «У любого прямоугольного треугольника

один из углов равен » является истинным высказыванием. Отрицанием будет

высказывание «Существует прямоугольный треугольник, у которого ни один из углов

не равен ». Как вы понимаете, это утверждение ложно, потому что такого

прямоугольного треугольника не существует.

Этот пример показывает, как строятся отрицания к утверждениям со вспомогательными словами. Так, слово «любой» нужно заменить словом «существует», и наоборот. Обратите внимание, что при этом нужно согласовывать слова по правилам грамматики. Возможно, понадобится добавить предлог. Например, «у любого».

В следующем примере рассмотрим утверждение «Для любого натурального числа

 существует простое число, которое заключено между числами  и .

Сначала данное предположение было сформулировано в виде гипотезы (предположения), но в 1852 году его доказал Пафнутий Львович Чебышёв – великий русский математик и механик.

Теперь известно, что это истинное высказывание.

Отрицанием будет утверждение: «Существует натуральное число  такое, что

любое число, заключённое между числами  и , не является простым».

Это утверждение является ложным высказыванием.

Друзья, обратите внимание, как используются в данном примере вспомогательные слова «для любого», «существует», «любое».

Запомните, что при построении отрицания к утверждению вспомогательное слово «любой» нужно заменить словом «существует» и, наоборот, слово «существует» нужно заменить словом «любой».

А сейчас выполним несколько заданий.

Задание первое. Постройте отрицание утверждения:

Решение.

Задание второе. Дано уравнение . Выясните, истинны или ложны высказывания.

Постройте отрицания для ложных высказываний.

Решение. Чтобы выполнить задание, давайте в первую очередь решим данное уравнение.

Теперь выясним, истинны или ложны данные высказывания.

Первое высказывание ложно, так как данное уравнение имеет только два корня. К этому ложному высказыванию отрицанием будет высказывание
«Существует значение , которое не удовлетворяет данному уравнению».

Второе высказывание тоже ложно, так как данное уравнение имеет два решения. К этому ложному высказыванию отрицанием будет высказывание «Существует значение , которое удовлетворяет данному уравнению».

Третье высказывание истинно, потому что действительно существует число, которое является решением рассматриваемого уравнения.

Четвёртое высказывание очевидно тоже истинно.

Строить отрицания к последним двум высказываниям мы не будем, так как они истинны.

Задание третье. Определите, истинны или ложны высказывания, и постройте отрицания:

Решение. Первое высказывание ложно, потому что решением этого неравенства являются только отрицательные числа. Отрицанием будет высказывание «Существует число, которое не является решением неравенства ».

Второе высказывание истинно. Отрицанием будет высказывание «Существует отрицательное число, которое не является решением неравенства ».

Третье высказывание тоже истинно. Отрицанием будет высказывание «Не существует отрицательного решения неравенства ».

Задание четвёртое. Сформулируйте отрицание для утверждения:

Решение. Первое утверждение. Отрицанием будет утверждение «При бросании игрального кубика более 3 очков».

Второе утверждение. Отрицанием к этому утверждению будет утверждение «При бросании игрального кубика выпало менее 5 очков».

Третье утверждение. При бросании игрального кубика может выпасть число от 1 до 6. Простыми являются числа 2, 3 и 5. Тогда отрицанием к данному утверждению будет утверждение «При бросании игрального кубика выпала грань с 1, 4 или 6 очками».

Друзья, на этом мы закончим наше занятие. До встречи на следующих занятиях!