Утверждения и высказывания

Ребята, мы с вами постоянно имеем дело с утверждениями. Про некоторые можно сказать, что они истинные, про другие – что они ложные. Иногда встречаются утверждения, в которых мы сомневаемся или воспринимаем их как шутку.

Любое рассуждение, которое проводит человек, является последовательностью или сочетанием утверждений, которые следуют друг из друга или из других утверждений. Разобраться в том, как должно быть устроено верное рассуждение (например, доказательство какой-либо теоремы), помогает логика.

Логика – это раздел математики, который изучает утверждения и то, как они связаны между собой.

Сегодня на занятии выясним, какие утверждения в математике называют высказываниями и какие примеры называют контрпримерами.

С самого раннего возраста мы учимся отличать правду от лжи. Ведь для того чтобы иметь разумные представления об окружающем нас мире, надо пользоваться правдивой информацией. Иногда, чтобы понять и объяснить, почему некоторое утверждение истинно или ложно, одного здравого смысла может быть недостаточно. В таком случае нужны правила рассуждений, которые позволяют из верных утверждений получать другие верные утверждения.

Ребята, а всегда ли можно сказать, истинно утверждение или ложно?

Сейчас перед вами несколько утверждений. О каких из них можно сказать, истинны они или нет?

Первое утверждение истинно, а второе – ложно. И это не вызывает сомнений.

Третье утверждение ложно, так как не существует такого числа , при котором будет выполняться данное равенство.

Про четвёртое утверждение что-то сказать сложно. Только уточнив, кто такие «мы» и кого следует называть лучшими, можно будет решить, истинно данное утверждение или ложно.

Пятое утверждение истинно. Его несложно проверить.

А вот последнее утверждение противоречиво. Оно не может быть ни истинным, ни ложным, ведь если оно истинно, то оно ложно. Если же мы предположим, что оно ложно, то должны признать, что оно ложным не является.

В математике важную роль играют утверждения, о которых определённо можно судить, истинны они или ложны. Такие утверждения называют высказываниями.

Высказывание – это утверждение, которое либо истинно, либо ложно.

Посмотрите на следующие утверждения. Очевидно, что какие-то из них являются истинными высказываниями, а какие-то – ложными.

Обратите внимание, что все эти утверждения содержат вспомогательные слова «любая», «некоторые», «существуют», «все», «ни одна», которые влияют на смысл сказанного. Например, слова «любой», «все», «каждый» подразумевают, что исключений нет.

Первое утверждение ложно, ведь есть птицы, которые совсем не умеют летать. Например, ни один из видов пингвинов не умеет летать, какапо (нелетающий попугай), африканский страус – самая крупная птица, которая не летает. Такие опровергающие примеры называют контрпримерами.

Контрпример – это пример, который противоречит утверждению.

Контрпримером к утверждению, что все медведи белые, служит бурый медведь.

Также контрпримера достаточно, чтобы опровергнуть утверждение, которое содержит вспомогательные слова «ни один», «никакой» или «не существует». Например, чтобы опровергнуть утверждение, что ни одна птица не умеет плавать, нужно вспомнить утку, лебедя, пеликана.

Если утверждение содержит слова «существует», «какой-то», «некоторые», «хотя бы один», «найдётся», то показать истинность этого утверждения можно с помощью примера.

Например, утверждение, что существуют реки, которые впадают в море, истинно, ведь можно привести примеры таких рек. Так, примером является река Енисей, которая впадает в Карское море.

Утверждение «Некоторые птицы живут в городе» тоже истинно, потому что на улицах городов можно встретить, например, голубей и воробьёв.

А теперь посмотрим на неравенство  и выясним, истинны или ложны следующие утверждения.

Первое утверждение «любое значение переменной  удовлетворяет этому неравенству» ложно. Чтобы убедиться в этом достаточно привести контрпример.

Например, значение  не удовлетворяет данному неравенству.

Второе утверждение «Ни одно значение переменной  не удовлетворяет этому

неравенству» тоже ложно. В качестве контрпримера можно взять значение .

Третье утверждение «Существует число, которое является решением этого неравенства» истинно. Чтобы его обосновать, достаточно привести примеры решений неравенства.

И последнее утверждение, что некоторые числа являются решением этого неравенства, тоже истинно. Чтобы это обосновать, достаточно привести примеры решений неравенства. Обратите внимание, что в этом утверждении спрашивается про некоторые числа. Говоря слово «некоторые», имеется ввиду, что достаточно одного.

А теперь выполним несколько заданий.

Задание первое. Известно, что . Дано высказывание «Число  меньше числа ». Можно ли утверждать, что это высказывание истинно? Может ли это высказывание быть истинным?

Задание второе. Дано высказывание «Число  больше числа 9». Может ли данное

высказывание быть истинным при ? Может ли данное высказывание быть истинным при ?

Задание третье. Запишите все целые значения , при которых истинны высказывания:

Первое высказывание. Обратите внимание, что число  должно быть не меньше .

А значит, при  это высказывание будет истинным. Также оно будет истинным при

 и при . Других целых значений , при которых данное высказывание будет истинным, нет.

Второе высказывание. Оно истинно при  равном , ,  и . Других

отрицательных целых чисел, при которых это высказывание будет истинным, нет.

Задание четвёртое. Запишите все целые значения , при которых ложны высказывания:

Первое высказывание будет ложным, при  равном , ,  и . При других целых

значениях  высказывание будет истинным.

Второе высказывание. Напомним, что модуль неотрицательного числа равен самому числу, а модуль отрицательного числа равен противоположному числу.

Данное высказывание будет ложным при  равном , , ,  и . При всех

остальных целых значениях  высказывание будет истинным.

Задание пятое. В коробке 7 красных карандашей и 6 зелёных. Какие из следующих трёх высказываний истинны?

Первое высказывание истинно, потому что зелёных карандашей в коробке только шесть, а значит, седьмой карандаш обязательно будет красным.

Второе высказывание ложно, так как в коробке лежат карандаши двух цветов.

Третье высказывание тоже ложно, так как комбинация из семи красных карандашей и одного зелёного противоречит ему.

Друзья, на этом мы закончим наше занятие. До встречи на следующих занятиях!