Средней линией треугольника называют отрезок, соединяющий середины двух его сторон.
Пользуясь этим определением, изобразим для прямоугольного, остроугольного и тупоугольного прямоугольников по одной средней линии.
Попробуем ответить на вопрос. Как средняя линия расположена относительно третьей стороны треугольника?
Похоже, что они параллельны. А теперь измерим линейкой каждую среднюю линию и параллельные им стороны треугольников.
Получаем, что каждая средняя линия в два раза меньше параллельной ей стороны треугольника.
Действительно имеют место следующие свойства.
Теорема. Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон
и равна половине этой стороны.
Доказательство.
средняя линия
Что и требовалось доказать.
Задача. Укажите, какие из изображённых отрезков являются средними линиями,
и найдите их длину.
Решение.
Решим ещё одну задачу.
Задача. Дан треугольник, стороны которого соответственно равны см, см и см. Найти периметр треугольника, вершинами которого являются середины сторон данного треугольника.
Решение.
Ответ: 14 см.
Задача. Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении два к одному, считая от вершины
Доказательство.
1. 𝐴_1 𝐵_1∥𝐴𝐵
2. △𝐴𝑂𝐵∼△𝐴_1 𝑂𝐵_1 (по двум углам)
⟹ 𝐴𝐵/(𝐴_1 𝐵_1 )=𝐴𝑂/(𝐴_1 𝑂)=𝐵𝑂/(𝐵_1 𝑂)=2
3. 𝐴𝑂:𝑂𝐴_1=𝐵𝑂:𝑂𝐵_1=2:1
4. Аналогично п.1-3:𝐵𝑀:𝑀𝐵_1=𝐶𝑀:𝑀𝐶_1=2:1
5. Точка 𝑀 совпадает с точкой 𝑂 ⟹𝐴𝐴_1∩𝐵𝐵_1∩𝐶𝐶_1=𝑂
Решим ещё несколько задач.
Задача. В треугольнике , через точки и — середины отрезков и соответственно, проведена прямая .. Найти и .
Решение.
1. 𝐾𝑀−средняя линия (по определению)
2. 𝐴𝐵=8 см, 𝐵𝐶=12 см
Ответ: 8 см, 16 см.
Задача. В четырёхугольнике ABCD точки M, N, P и Q являются серединами сторон AB, BC, CD и AD соответственно. Докажите, что MNPQ — параллелограмм.
Решение.
:
:
:
:
Что и требовалось доказать.
Подведём итоги урока.
Сегодня вы узнали, что средней линией треугольника называют отрезок, соединяющий середины двух его сторон.
Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.
С помощью этой теоремы мы также доказали, что медианы любого треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении два к одному, считая от вершины.
Полученные знания мы применили при решении задач.