Третий признак подобия треугольников

Прежде, чем познакомиться с третьим признаком подобия треугольников, вспомним известные нам первый и второй.

Итак, первый признак подобия треугольников: если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Второй признак подобия треугольников: если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы между ними равны, то такие треугольники подобны.

Ну а теперь сформулируем третий признак подобия треугольников.

Теорема (3-й признак подобия треугольников). Если три стороны одного треугольника соответственно пропорциональны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Доказательство.

.

, , тогда  по 1-му признаку.

.

Получаем, что  , .

Тогда  по 3-му признаку.

Следовательно, .

Так как , то .

Следовательно, .

Что и требовалось доказать.

Давайте найдём среди следующих треугольников подобные.

У каждого из треугольников известны длин трёх его сторон, а тогда воспользуемся только что доказанным третьим признаком подобия треугольников.

Посмотрим внимательно на значения их длин и заметим, что стороны треугольника а пропорциональны сторонам треугольника в, а значит, эти треугольники подобны. При этом коэффициент подобия равен 2.

Задача. Подобны ли треугольники  и , если  см,  см,  см,  см,  см,  см?

Решение.

,

,

.

Значит, .

Следовательно, .

Ответ: .

Задача. Докажите, что прямоугольные треугольники  и  подобны, если стороны  и  треугольника соответственно равны  см и  см, а стороны  и  треугольника соответственно равны  см и  см.

Решение.

,,

 (см).

, ,

 (см).

; ; .

Значит, .

Следовательно,  по 3-му признаку.

Что и требовалось доказать.

Итак, сегодня на уроке мы познакомились с ещё одним признаком подобия треугольников: если три стороны одного треугольника соответственно пропорциональны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Также мы закрепили материал на практике.