Процентное отношение двух чисел

Представим себе такую историю…

– Саша, ты что такой задумчивый сидишь? – спросил у друга Паша.

– На каникулы нам задали прочитать книгу, которая состоит из 300 страниц, – начал рассказывать Саша. – Я уже прочитал 75 страниц. Вот мне стало интересно, сколько же процентов книги я уже прочитал.

– Давай попробуем вместе посчитать, – предложил Паша. – Ты сказал, что книга состоит из 300 страниц. Значит, эти страницы будут составлять 100 %.

– Ну да… – согласился Саша. – И как же это поможет выяснить, сколько процентов составляют прочитанные 75 страниц?

– 150 страниц — это половина книги, – продолжил Паша, – значит, 150 страниц будут составлять 50 %. А вот твои 75 страниц – это четверть книги. Следовательно, 75 страниц будут составлять 25 %.

– Ух ты! Как ты лихо всё посчитал, – воскликнул Саша. – А если бы я прочитал не 75 страниц, а, например, 73? То как бы тогда считать надо было?

– Не знаю, – задумался Паша. – Давай лучше спросим у Мудряша, как решают подобные задачи. Он уж точно сможет объяснить.

– Ребята, прежде чем я отвечу на ваш вопрос, давайте немного разомнёмся и выполним устные задания, – предложил Мудряш.

– Давайте сверимся! – сказал Мудряш. — Посмотрите, что у вас должно было получиться!

– Ну а теперь вернёмся к вашему вопросу, – начал Мудряш. – Задачи такого рода удобно решать с помощью пропорций. Чтобы ответить на вопрос «Сколько процентов составляют прочитанные Сашей страницы от страниц всей книги?», нужно найти процентное отношение. Сейчас я вам объясню, как его находят. Вы уже умеете находить часть от целого. Скажите, какую часть составляют страницы, прочитанные Сашей, от страниц всей книги?

– , – посчитал Саша.

– Можем сократить эту дробь на 75, – заметил Паша. – Тогда прочитанные Сашей страницы составляют  часть от страниц всей книги.

– Верно, – согласился Мудряш. – А теперь выразите это отношение в процентах.

– Умножим дробь  на 100, – сказал Паша. – Получится 25 %. И у меня в вычислениях тоже получилось 25 %.

– Число 25 показывает, сколько процентов страниц в книге составляют прочитанные Сашей страницы, – заметил Мудряш. – Это число называют процентным отношением.

Запомните! Процентное отношение двух чисел – это их отношение, выраженное в процентах. Процентное отношение показывает, сколько процентов одно число составляет от другого.

– Давайте рассмотрим ещё один пример, – предложил Мудряш. – Вот скажите, сколько мальчиков и сколько девочек учатся в вашем классе?

– В нашем классе учатся 10 девочек и 15 мальчиков, – ответили мальчишки.

– Давайте рассчитаем процентное отношение количества девочек к количеству мальчиков; процентное отношение количества мальчиков к количеству девочек; процентное отношение количества девочек к количеству учащихся всего класса и процентное отношение количества мальчиков к количеству учащихся всего класса, – сказал Мудряш.

– Процентное отношение количества девочек к количеству мальчиков равно  и равно  %, – посчитал Саша. – Это отношение показывает, что количество девочек составляет  % от количества мальчиков.

– Число  и равное 150 % показывает, что количество мальчиков составляет 150 % от количества девочек, – продолжил Паша.

– Так как в классе учатся 10 девочек и 15 мальчиков, то всего в классе 25 учеников, – сказал Саша. – следовательно, процентное отношение количества девочек к количеству учащихся всего класса равно  и равно 40 %.

– Число  и равное 60 % показывает, что количество мальчиков составляет 60 % от количества всех учащихся в классе, – продолжил Паша.

– Молодцы! – похвалил ребят Мудряш. – Можем сделать следующий вывод. Запомните! Чтобы найти процентное отношение двух чисел, надо их отношение умножить на сто и к результату дописать знак процента.

Кстати, при решении задач на процентное отношение, кроме этого правила, можно использовать пропорции.

– А теперь, ребята, давайте посмотрим, как вы всё поняли, и выполним несколько заданий.

Задание первое: сколько процентов число 20 составляет от указанных чисел: а) ;      б) ;       в) ;       г) ?

Решение: чтобы найти процентное отношение двух чисел, надо их отношение умножить на сто и к результату дописать знак процента. Найдём процентное отношение числа 20 от числа 200. . Получим 10 %.

Затем найдём процентное отношение числа 20 от числа 80. Для этого отношение . Получим 25 %.

Дальше найдём процентное отношение числа 20 от числа 10. Отношение . Получим 200 %.

И осталось вычислить процентное отношение числа 20 от числа 120. Число . Получим  %.

Следующее задание: сколько процентов составляет одно число от другого: а)  от ;      б)  от ;       в)  от ;       г)  от ?

Решение: чтобы найти процентное отношение двух чисел, надо их отношение умножить на сто и к результату дописать знак процента. Тогда процентное отношение числа 4 от числа 5 равно 80 %. Процентное отношение числа 25 от 75 равно  %. Процентное отношение числа 150 от числа 500 равно 30 %. А процентное отношение числа 45 от числа 36 равно 125 %.

А теперь давайте решим несколько задач.

Задача первая: в школе 800 учеников, 48 из них — отличники. Какой процент всех учащихся в школе составляют отличники?

Решение: пусть отличники составляют х %. Тогда можем записать, что 800 учеников – это 100 %, а 48 учеников-отличников – это х %. Отношения  и  равны, поскольку каждое из них показывает, сколько учеников приходится на 1 %. Имеем пропорцию: . Чтобы найти неизвестный крайний член пропорции, нужно произведение её средних членов разделить на известный крайний член пропорции. Отсюда . То есть 6 % всех учащихся в школе составляют отличники.

Задача вторая: норма завода по производству автомобилей составляет 250 машин в месяц. Завод собрал за месяц 315 машин. На сколько процентов завод перевыполнил план?

Решение: для начала найдём процентное отношение количества собранных автомобилей к количеству автомобилей, установленных нормой. Получим . Так как норма по сбору автомобилей составляет 100 %, а завод за месяц собрал 126 % нормы автомобилей, то завод перевыполнил план на 26 %. Не забудем записать ответ.