Свойства числовых функций

Вопросы занятия:

·     повторить свойства числовых функций;

·     повторить геометрический смысл свойств числовых функций;

·     определить в каком порядке следует перечислять эти свойства при чтении графика функции.

Материал урока

Определение.

Функцию y=f(x) называют возрастающей на множестве XD(f), если для любых точек х₁ и х₂ множества Х таких, что х₁ < x₂, выполняется неравенство f(x₁) < f(x₂).

Другими словами, функция возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Определение.

Функцию y=f(x) называют убывающей на множестве XD(f), если для любых точек х₁ и х₂ множества Х таких, что х₁<x₂, выполняется неравенство f(x₁) > f(x₂).

Другими словами, функция убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Определение.

Термины «возрастающая функция», «убывающая функция» объединяют общим названием монотонная функция, а исследование функции на возрастание или убывание называют исследованием функции на монотонность.

Если функция возрастает (или убывает) на своей области определения, то говорят, что функция возрастающая (убывающая).

Рассмотрим несколько примеров.

Пример.

Пример.

Определение.

Функцию y=f(x) называют ограниченной снизу на множестве XD(f), если все значения этой функции на множестве Х больше некоторого числа, то есть если существует число m такое, что для любого значения хϵХ выполняется неравенство f(x) > m.

Определение.

Функцию y=f(x) называют ограниченной сверху на множестве XD(f), если все значения этой функции на множестве Х меньше некоторого числа, то есть если существует число M такое, что для любого значения хϵХ выполняется неравенство f(x) < М.

Определение.

Если множество Х не указано, то подразумевается, что речь идёт об ограниченности функции сверху или снизу на всей области её определения.

Если функция ограничена и сверху и снизу на всей области определения, то её называют ограниченной.

Рассмотрим пример.

Пример.

Определение.

Число m называют наименьшим значением функции f(x) на множестве XD(f), если:

1)  существует точка х₀ϵХ такая, что f(x₀)=m;

2)  для любого значения хϵХ выполняется неравенство f(x) ≥ f(x₀).

Наименьшее значение функции обозначают символом y_наим.

Определение.

Число М называют наибольшим значением функции f(x) на множестве XD(f), если:

1)  существует точка х₀ϵХ такая, что f(x₀)=М;

2)  для любого значения хϵХ выполняется неравенство f(x) ≤ f(x₀).

Наибольшее значение функции обозначают символом y_наиб.

Если множество Х не указано, то подразумевается, что речь идёт об поиске наименьшего или наибольшего значения функции на всей области её определения.

Сформулируем несколько утверждений:

1) Если у функции существует y_наим, то она ограничена снизу.

2) Если у функции существует y_наиб, то она ограничена сверху.

3) Если функция не ограничена снизу, то у неё не существует у_наим.

4) Если функция не ограничена сверху, то у неё не существует у_наиб.

Определение.

Функция выпукла вниз на промежутке XD(f), если, соединив любые две точки её графика с абсциссами из Х отрезком, мы обнаружим, что соответствующая часть графика лежит ниже проведённого отрезка.

Определение.

Функция выпукла вверх на промежутке XD(f), если, соединив любые две точки её графика с абсциссами из Х отрезком, мы обнаружим, что соответствующая часть графика лежит выше проведённого отрезка.

Определение.

Если график функции f(x) на промежутке Х не имеет точек разрыва (то есть представляет собой сплошную линию), то это значит, что функция f(x) непрерывна на промежутке Х.

Замечание.

Обсуждая последние два свойства, мы будем пока по-прежнему опираться на наглядно-интуитивные представления. Доказательство этих свойств будет рассмотрено нами позже.

Определение.

Функцию f(x), xϵX называют чётной, если для любого значения х из множества Х выполняется равенство: f(-x) = f(x)

Функцию f(x), xϵX называют нечётной, если для любого значения х из множества Х выполняется равенство: f(-x) = -f(x)

В определениях идёт речь о значениях функции в точках -х и х. Тем самым предполагается, что функция определена и в точке х и в точке -х. Это значит, что точки х и -х одновременно принадлежат области определения функции. Если числовое множество Х вместе с каждым своим элементом х содержит и противоположный элемент -х, то такое множество называют симметричным множеством.

Например: отрезок [-5, 5] ̶ симметричное множество, а отрезок [-4, 5]  ̶  не симметричное множество (в него входит число 5, но не входит противоположное ему -5).

Если функция у=f(x), хϵХ чётная или нечётная, то ее область определения Х – симметричное множество.

Если же Х – несимметричное множество, то функция у=f(x), хϵХ не может быть ни чётной ни нечётной.

Теперь давайте рассмотрим общий алгоритм исследования функции на чётность.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример.

Пример.

Пример.

Вспомним геометрический смысл свойства чётности и свойства нечётности функции.

Прочитать функцию – это значит перечислить свойства функции. Для это надо:

1. Найти область определения функции D(f).

2. Найти область значения функции E(f).

3. Исследовать функцию на монотонность.

4. Исследовать функцию на ограниченность.

5. Найти наибольшее и наименьшее значение функции, если это возможно.

6. Исследовать функцию на чётность.