Дроби, модуль числа, рациональные числа

Напомним, что два числа, равные по модулю, но противоположные по знаку, называются противоположными.

Натуральные числа, противоположные им числа и число 0 составляют вместе множество целых чисел. Множество целых чисел обозначается .

Число вида , где , называется обыкновенной дробью. Число  называется числителем дроби, число  — знаменателем.

Дробь называется правильной, если её числитель меньше знаменателя , и неправильной, если её числитель больше знаменателя или равен ему .

Основное свойство дроби: если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю, то получится дробь, равная данной.

,

Число вида , где , , называется рациональным. Множество рациональных чисел обозначается .

А теперь вспомним правила выполнения арифметических действий над рациональными числами:

1. Сложение рациональных чисел:

2. Вычитание рациональных чисел:

3. Умножение рациональных чисел:

4. Частное двух рациональных чисел:.

Десятичные дроби — это такие обыкновенные дроби, у которых знаменатель — единица с нулями, то есть 10; 100; 1000 и так далее.

Десятичные дроби записывают без знаменателей. Сначала пишут целую часть числа, справа от неё ставят запятую; первая цифра после запятой означает число десятых (то есть десятых долей единицы), вторая — сотых, третья — тысячных и так далее.

Цифры, стоящие после запятой, называются десятичными знаками.

Бесконечной называется десятичная дробь, у которой после запятой бесконечно много цифр.

Каждое рациональное число  может быть представлено в виде конечной или бесконечной десятичной дроби. Это достигается делением числителя на знаменатель.

Обыкновенная несократимая дробь  может быть записана конечной десятичной дробью тогда и только тогда, когда её знаменатель не содержит никаких других простых множителей, кроме 2 или 5.

Бесконечную десятичную дробь называют периодической, если у неё, начиная с некоторого места, одна цифра или группа цифр повторяется, непосредственно следуя одна за другой. Повторяющуюся цифру или группу цифр называют периодом и записывают в скобках.

Например, .

Если период начинается сразу после запятой, то дробь называют чисто периодической; если же между запятой и периодом есть другие десятичные знаки, то дробь называют смешанной периодической.

Правила обращения периодической дроби в обыкновенную:

1. Для обращения чистой периодической дроби в обыкновенную в числителе оставляют период десятичной дроби, а в знаменателе — число, состоящее из девяток, взятых столько раз, сколько знаков в периоде десятичной дроби.

Например:

2. Для обращения смешанной периодической десятичной дроби в обыкновенную в числителе берут число, стоящее в десятичной дроби до второго повторения периода, минус число, стоящее в десятичной дроби до периода; в знаменателе нужно написать столько девяток, сколько цифр в периоде, и приписать к ним столько нулей, сколько цифр в исходной десятичной дроби от запятой до периода.

Например:

Бесконечная десятичная непериодическая дробь называется иррациональным числом.

Рациональные и иррациональные числа образуют множество действительных чисел. Множество действительных чисел обозначают заглавной латинской буквой .

Модулем (абсолютной величиной) действительного числа  называют само это число , если , и противоположное число , если .

Геометрически модуль числа означает расстояние на координатной прямой от точки  до точки .

Модуль действительного числа обладает свойствами.

При  имеем:

1.  тогда и только тогда, когда  или ;

2.  тогда и только тогда, когда ;

3.  тогда и только тогда, когда  или .

Основные моменты мы с вами повторили, а теперь давайте перейдём к практической части занятия.

Задание первое. Найдите значение выражения .

Решение.

Задание второе. Расположите в порядке возрастания числа:

 ; ;  ; ; .

Решение.

Задание третье. Найдите целые числа  и  такие, что .

Решение.

Задание четвёртое. При каких натуральных значениях  дробь  является целым числом?

Решение.

Задание пятое. Укажите наибольшее целок , при котором дробь  является целым числом.

Решение.