Напомним, что два числа, равные по модулю, но противоположные по знаку, называются противоположными.
Натуральные числа, противоположные им числа и число 0 составляют
вместе множество целых чисел. Множество целых чисел обозначается .
Число вида , где
, называется обыкновенной дробью. Число
называется числителем дроби, число
— знаменателем.
Дробь называется правильной, если её числитель меньше
знаменателя , и неправильной, если её числитель больше знаменателя или
равен ему
.
Основное свойство дроби: если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю, то получится дробь, равная данной.
,
Число вида , где
,
, называется рациональным. Множество рациональных чисел
обозначается
.
А теперь вспомним правила выполнения арифметических действий над рациональными числами:
1. Сложение рациональных чисел:
2. Вычитание рациональных чисел:
3. Умножение рациональных чисел:
4. Частное двух рациональных чисел:.
Десятичные дроби — это такие обыкновенные дроби, у которых знаменатель — единица с нулями, то есть 10; 100; 1000 и так далее.
Десятичные дроби записывают без знаменателей. Сначала пишут целую часть числа, справа от неё ставят запятую; первая цифра после запятой означает число десятых (то есть десятых долей единицы), вторая — сотых, третья — тысячных и так далее.
Цифры, стоящие после запятой, называются десятичными знаками.
Бесконечной называется десятичная дробь, у которой после запятой бесконечно много цифр.
Каждое рациональное число может быть представлено в виде конечной или бесконечной десятичной
дроби. Это достигается делением числителя на знаменатель.
Обыкновенная несократимая дробь может быть записана конечной десятичной дробью тогда и только
тогда, когда её знаменатель не содержит никаких других простых множителей, кроме
2 или 5.
Бесконечную десятичную дробь называют периодической, если у неё, начиная с некоторого места, одна цифра или группа цифр повторяется, непосредственно следуя одна за другой. Повторяющуюся цифру или группу цифр называют периодом и записывают в скобках.
Например, .
Если период начинается сразу после запятой, то дробь называют чисто периодической; если же между запятой и периодом есть другие десятичные знаки, то дробь называют смешанной периодической.
Правила обращения периодической дроби в обыкновенную:
1. Для обращения чистой периодической дроби в обыкновенную в числителе оставляют период десятичной дроби, а в знаменателе — число, состоящее из девяток, взятых столько раз, сколько знаков в периоде десятичной дроби.
Например:
2. Для обращения смешанной периодической десятичной дроби в обыкновенную в числителе берут число, стоящее в десятичной дроби до второго повторения периода, минус число, стоящее в десятичной дроби до периода; в знаменателе нужно написать столько девяток, сколько цифр в периоде, и приписать к ним столько нулей, сколько цифр в исходной десятичной дроби от запятой до периода.
Например:
Бесконечная десятичная непериодическая дробь называется иррациональным числом.
Рациональные и иррациональные числа образуют множество
действительных чисел. Множество действительных чисел обозначают заглавной
латинской буквой .
Модулем (абсолютной величиной)
действительного числа называют само это число
, если
, и противоположное число
, если
.
Геометрически модуль числа означает расстояние на координатной
прямой от точки до точки
.
Модуль действительного числа обладает свойствами.
При имеем:
1. тогда и только тогда, когда
или
;
2. тогда и только тогда, когда
;
3. тогда и только тогда, когда
или
.
Основные моменты мы с вами повторили, а теперь давайте перейдём к практической части занятия.
Задание первое. Найдите значение
выражения .
Решение.
Задание второе. Расположите в порядке возрастания числа:
;
;
;
;
.
Решение.
Задание третье. Найдите целые числа и
такие, что
.
Решение.
Задание четвёртое. При каких
натуральных значениях дробь
является целым числом?
Решение.
Задание пятое. Укажите наибольшее
целок , при котором дробь
является целым числом.
Решение.