Метод площадей

При решении некоторых геометрических задач, условие которых не связано с площадью непосредственно, используют свойства площадей. Такой метод решения называется методом площадей. Чаще всего этот метод используется для нахождения соотношений длин отрезков и для доказательства теорем.

Задача

Дан треугольник со сторонами 15 см и 19 см. Высота, проведённая к большей из этих сторон, равна 6 см. Чему равна высота, проведённая к меньшей из этих сторон?

Решение

Задача вторая. Дан треугольник со сторонами 13 см, 14 см и 15 см. Найдите высоту треугольника, проведённую к большей стороне.

Решение

Для нахождения площади треугольника будем пользоваться данными формулами.

Задача третья. Дан параллелограмм . Сторона  равна 10 см, а сторона  – 35 см. Большая высота параллелограмма равна 14 см. Чему равна меньшая высота этого параллелограмма?

Решение

Для нахождения площади параллелограмма будем пользоваться данной формулой.

Теперь с помощью метода площадей докажем теорему Пифагора.

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

Доказательство

Приравняв выражения, основанные на различных способах нахождения площади одной и той же фигуры, мы смогли доказать зависимость между катетами и гипотенузой прямоугольного треугольника.

Задача четвёртая. Дан равнобедренный треугольник . На его основании  взята точка . Докажите, что сумма длин перпендикуляров, опущенных из точки  на боковые стороны треугольника, есть величина постоянная для данного треугольника.

Доказательство

Задача пятая. Докажите, что сумма расстояний от любой точки, взятой внутри равностороннего треугольника, до его сторон есть величина постоянная, то есть справедливо равенство .

Постоянная величина (константа) в общем виде обозначается маленькой латинской буквой «» или латинским словом «».

Интересно, что имя Константин с древнегреческого языка означает «постоянный».

До встречи на следующих занятиях!