Исследование функций

Функциональной зависимостью, или функцией, называется зависимость между двумя переменными, при которой каждому значению одной переменной соответствует единственное значение другой переменной.

Говорят, что задана функция , если заданы числовое множество  и правило , по которому каждому элементу  из множества  ставится в соответствие единственное значение .

Множество  называют областью определения функции  и обозначают .

Значения переменной  называют значениями аргумента, а значения переменной – значениями функции.

Множество всех значений, которые принимает функция , называют множеством значений функции и обозначают .

Существует несколько способов задания функции.

Если соответствие между значениями аргумента и значениями функции определяется с помощью формулы, то такой способ задания функции называется аналитическим.

Например, функции  и  заданы аналитически.

Одна и та же функция может быть задана разными формулами. Например, формулы  и  задают одну и ту же функцию.

Если соответствие между значениями аргумента и значениями функции описывается словами, то есть объясняется, каким образом значению аргумента ставится в соответствие значение функции, то такой способ задания функции называется словесным.

Например, функция  определена на множестве натуральных чисел. Каждому значению аргумента ставится в соответствие сумма цифр его десятичной записи.

Если соответствие между значениями аргумента и значениями функции указывается с помощью таблицы, в первой строке которой указываются значения аргумента, а во второй – соответствующие значения функции, то говорят, что функция задана таблицей.

Посмотрите на таблицу, которая задаёт функцию  зависимости суммы суточной солнечной радиации при отсутствии атмосферы от широты, на которой выполняется наблюдение.

Например, с помощью этой таблицы мы можем узнать, на какой широте значение суточной суммы радиации равно нулю.

Способ задания функции с помощью множества точек координатной плоскости называется графическим.

Пусть кривая L – некоторое множество точек на координатной плоскости.

Возьмём на оси абсцисс произвольную точку и проведём через неё прямую, параллельную оси ординат. Эта прямая пересекает кривую L в точке A(-8; 3). Ордината этой точки является значением функции при значении аргумента, равном -8.

Вот таким образом указывается соответствие между множеством значений аргумента и значениями функции.

По графику можно определить, что , а .

Важно помнить, что не любое множество точек на координатной плоскости задаёт функцию.

Например, кривую, которая изображена на данном рисунке, прямая, параллельная оси ординат, пересекает в двух точках, то есть значению переменной  соответствует не единственное значение . А значит, эта кривая не задаёт функцию.

Определение

Множество всех точек плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты – соответствующим значениям функции, называют графиком функции.

Поговорим о свойствах функции.

Нули функции

Значение аргумента, при котором значение функции равно нулю, называется нулём функции.

Нулями функции , график которой изображён на рисунке, являются значения аргумента, равные ,  и .

В точках с абсциссами ,  и  график функции  пересекает ось абсцисс.

Пример

Найдём нули функции .

Эта функция задана аналитически. Чтобы найти её нули, нам нужно решить уравнение .

Произведение нескольких множителей равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

Числа ,  и  являются нулями функции .

Промежутки знакопостоянства

Промежуток, на котором функция принимает значения только одного знака, называется промежутком знакопостоянства.

Посмотрим на график функции .

На промежутке от  (не включая ) до  (не включая ) и на промежутке от  (не включая ) до  включительно график лежит ниже оси абсцисс, следовательно, значения функции на этих промежутках отрицательны. То есть  при .

На промежутке от  включительно до  (не включая ) и на промежутке от  (не включая ) до  (не включая ) график лежит выше оси абсцисс, следовательно, значения функции на этих промежутках положительны. То есть  при .

Все четыре промежутка являются промежутками знакопостоянства данной функции.

Обычно при изучении свойств функции рассматривают промежутки знакопостоянства максимальной длины.

Пример

Найдём промежутки знакопостоянства функции .

Монотонность функции

Функция  возрастает на некотором промежутке из области определения, если для любых двух значений аргумента  и  из этого промежутка, таких, что , выполняется неравенство .

Другими словами, функция возрастает на некотором промежутке, если для любых значений аргумента из этого промежутка большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Функция  убывает на некотором промежутке из области определения, если для любых двух значений аргумента  и  из этого промежутка, таких, что , выполняется неравенство .

Можно сказать, что функция убывает на некотором промежутке, если для любых значений аргумента из этого промежутка большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Промежутки возрастания и убывания функции называют промежутками монотонности функции, а функцию называют монотонной на промежутке возрастания или убывания.

Если функция возрастает на всей области определения, то её называют возрастающей функцией. Если функция убывает на всей области определения, то её называют убывающей функцией.

Определим промежутки возрастания и убывания функции , заданной графически.

При увеличении абсциссы от  до  значения функции уменьшаются (точки на графике «опускаются вниз»), а значит, на отрезке  функция  убывает. Также эта функция убывает на отрезке  и на отрезке .

При увеличении абсциссы от  до  значения функции увеличиваются (точки графика функции «поднимаются вверх»), а значит, на отрезке  функция  возрастает. Также эта функция возрастает на отрезке  и на отрезке .

Пример

Известно, что функция  возрастает на промежутке . Расположим в порядке возрастания значения выражений , , .

Нам сказано, что функция возрастает на заданном промежутке. Это значит, для любых значений аргумента из этого промежутка большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Тогда данные выражения в порядке возрастания расположатся так: , , .

Чётные и нечётные функции

Для построения графиков функций, решения уравнений и неравенств используют свойства функций. Одним из свойств, позволяющих найти рациональное решения, является свойство чётности (нечётности) функции.

Функция  называется чётной, если её область определения симметрична относительно нуля и для любого  выполняется условие .

Например, отрезок  не может быть областью определения чётной функции, так как значение аргумента, равное , принадлежит этому отрезку, а противоположное значение не принадлежит.

Условие  означает, что значения функции при противоположных значениях аргумента равны.

Чтобы доказать, что функция является чётной, нужно:

1)    проверить симметричность области определения функции относительно нуля;

2)    записать выражение ;

3)    показать, что .

График чётной функции симметричен относительно оси ординат.

Если график некоторой функции симметричен относительно оси ординат, то эта функция является чётной.

Функция  называется нечётной, если её область определения симметрична относительно нуля и для любого  выполняется условие .

Условие  означает, что значения функции при противоположных значениях аргумента противоположны.

Чтобы доказать, что функция является нечётной, нужно:

1)    проверить симметричность области определения функции относительно нуля;

2)    записать выражение ;

3)    показать, что .

График нечётной функции симметричен относительно начала координат.

Если график некоторой функции симметричен относительно начала координат, то эта функция является нечётной.

Если необходимо исследовать функцию на чётность, то нужно выяснить является ли данная функция чётной; нечётной. Если оба ответа отрицательны, то говорят, что функция не является ни чётной, ни нечётной.

Пример

Исследуем на чётность функцию .

До встречи на следующих занятиях!