Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскости

Материал урока.

На прошлых занятиях вы познакомились с признаком перпендикулярности прямой к плоскости. Он говорит о том, что если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

Теорема. Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости и притом только одна.

Давайте изобразим плоскость α и произвольную точку пространства М. Докажем, что через точку М проходит прямая перпендикулярная к плоскости α, и что такая прямая только одна.

Проведём в плоскости α прямую a, а затем изобразим плоскость β, проходящую через точку М и перпендикулярную к прямой a.

Прямую, по которой пересекаются плоскости α и β, обозначим буквой b.

Далее в плоскости β через точку М проведём прямую c, перпендикулярную к прямой b.

Видим, что прямая c перпендикулярна к прямой b по построению и к прямой a, так как прямая a перпендикулярна плоскости β, а значит, перпендикулярна к любой прямой из этой плоскости, в том числе к прямой c.

Прямые b и a пересекаются и лежат в одной плоскости α. Отсюда делаем вывод, что прямая c перпендикулярна к плоскости альфа.

Так мы доказали, что через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости.

Осталось доказать, что такая прямая только одна.

Допустим, что есть ещё одна прямая проходящая через точку М, не совпадающая с c, и перпендикулярная к плоскости α. Но мы знаем, что две прямые перпендикулярные к плоскости являются параллельными. Мы получили противоречие, так как прямые c и c₁ параллельны и в то же время пересекаются в точке М. Это невозможно.

Отсюда следует, что наше допущение не верно, и не существует второй такой прямой, которая проходит через точку М и перпендикулярна плоскости α.

Что и требовалось доказать.

Итак, теперь вы знаете, что через любую точку пространства проходит только одна плоскость, перпендикулярная к данной прямой. И через любую точку пространства проходит только одна прямая, перпендикулярная к данной плоскости.

Приступим к решению задач.

Задача.  квадрат, точка  точка пересечения диагоналей. .

Доказать: а) ; б) .

Решение.

Что и требовалось доказать.

Задача. Доказать, что если одна из двух параллельных плоскостей

перпендикулярна к прямой, то и другая плоскость перпендикулярна к этой прямой.

Решение.

Что и требовалось доказать.

А сейчас решим задачу обратную данной.

Задача. Доказать, что если две плоскости перпендикулярны к одной прямой,

то данные плоскости параллельны.

Решение.

Что и требовалось доказать.

Подведём итоги нашего урока.

Сегодня мы доказали теорему о прямой, перпендикулярной к плоскости.

Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости и притом только одна.

В ходе решения задач, мы доказали, что если одна из двух параллельных плоскостей перпендикулярна к прямой, то и другая плоскость тоже перпендикулярна к этой прямой.

А также доказали, что если две плоскости перпендикулярны к одной прямой, то данные плоскости параллельны.