Решение задач с помощью с-м ур-ний 2-ой степени

Алгоритм решения задач с помощью систем уравнений второй степени:

·        обозначить неизвестные величины буквами и составить систему уравнений;

·        решить полученную систему;

·        записать ответ в соответствии с условием задачи.

Пример.

Найти два положительных числа, произведение которых равно 300, а разность - 13.

Пусть x - большее число, а y - меньшее число. Получим:

Решим полученную систему способом подстановки:

Уравнение имеет два корня: 25 и -12. Корень x= -12 не подходит нам по условию, так как в задаче идёт речь о положительных числах. Значит, положительные числа будут 25 и 12.

Пример.

Периметр прямоугольника равен 170 сантиметров, а сумма длин его диагоналей — 130 сантиметров. Нужно найти длины сторон прямоугольника.

Пусть а - ширина прямоугольника, b - длина прямоугольника.

Периметр прямоугольника равен 170 см. Сумма диагоналей равна 130 см. Диагонали прямоугольника равны, и их можно найти из прямоугольного треугольника с помощью теоремы Пифагора:

Получаем систему уравнений:

Полученную систему будем решать способом подстановки:

Решив уравнение с одной переменной, получим:

Получили два решения. Выбираем первую пару решений, так как по условию а - ширина прямоугольника, b - длина прямоугольника. Запишем, а=25 см. и b=60 см.

Пример.

Двое рабочих выполнили некоторую работу за 12 часов. Если бы сначала первый сделал половину этой работы, а затем второй - остальную её часть, то вся работа была бы выполнена за 25 часов. За какое время мог бы выполнить всю работу каждый рабочий в отдельности?

При решении задач на совместную работу важно помнить формулу:

А - объём работы

P - производительность труда

t - время работы.

Чтобы было проще составить систему уравнений, заполним таблицу, в которой отобразим работу, производительность труда и время для каждого из рабочих, а так же для их совместной работы:

Работу обозначим за 1. Первый рабочий выполняет всю работу за х часов, а второй - за у часов. Вместе они выполняют работу за 12 часов. По формуле выразим производительность труда. Для первого рабочего - , для второго - .

Из условия задачи известно, что работая вместе, рабочие выполнили всю работу за 12 часов. И далее сказано, если бы сначала первый сделал половину этой работы, а затем второй - остальную её часть, то вся работа была бы выполнена за 25 часов.

Cоставим систему уравнений:

Решим систему:

Применим способ подстановки, преобразовав уравнение с одной переменной, получаем квадратное уравнение:

Его корнями будут числа 20 и 30.

В условии задачи не сказано, какой рабочий работал быстрее, а какой медленнее. Поэтому в данном случае в ответ можно записать любую пару. Ведь они отличаются только порядком следования значений.

Получили, что каждому рабочему в отдельности потребуется 20 и 30 часов.