Исследование геометрических моделей

Вопросы занятия:

·        Исследование геометрических моделей на примере программы Живая геометрия.

Традиционный подход к изучению геометрии приводит к не большой популярности этого предмета, особенно среди тех, кто далёк от математики. Так обстоят дела с геометрией потому что формулировки и доказательства теорем чаще всего заучиваются, а не проверяются. Трудно представить и нарисовать рисунок к задаче. А ещё сложнее представить фигуру в пространстве.

Естественно, открытия, которые мы делаем самостоятельно, усваиваются и запоминаются лучше, чем преподнесённые нам в готовом виде. Поэтому на уроках геометрии необходимо экспериментировать. Помочь решить возникающие в связи с этим проблемы может компьютерное моделирование, где можно быстро и качественно строить чертежи.

Чертёж, построенный на бумаге с помощью карандаша и линейки, имеет важнейшее значение, но обладает двумя недостатками: требует затрат времени и конечный результат оказывается статичным. Компьютерное моделирование позволяет значительно экономить время, но самое главное: чертёж, построенный с помощью программы, можно копировать, деформировать, перемещать и видоизменять. Элементы чертежа легко измерить компьютерными средствами, а результаты этих измерений допускают дальнейшую компьютерную обработку.

Программа «Живая геометрия» является электронным подобием готовальни с дополнительными подвижными возможностями, а также со стандартными компьютерными функциями, такими как редактирование, сохранение, изменение и тому подобные.

Также в этой программе реализованы и другие, непривычные пока возможности (например, озвучивание чертежей). «Живая геометрия» позволяет создавать красочные, варьируемые и редактируемые чертежи, осуществлять операции над ними, а также проводить все необходимые измерения. Чертежи можно компоновать в сценарии и своеобразные геометрические мультфильмы.

Данная компьютерная программа предоставляет возможность анализирования, исследования, построения, доказательств, решения задач, головоломок и даже рисования; позволяет обнаруживать закономерности в наблюдаемых геометрических явлениях, формулировать теоремы для последующего доказательства, подтверждать уже доказанные теоремы и развивать их понимание.

Итак, преступим к исследованию геометрических моделей.

Запустим программу. Перед нами основное окно. Все необходимые инструменты, а это: стрелка, точка, циркуль, линейка, текст и инструменты, создаваемые пользователем, собраны в готовальне, которая появляется каждый раз с новым чертежом. Конечно можно подумать, что инструментов очень мало, ведь даже в графической панели инструментов текстового редактора Writer готовых геометрических фигур во много раз больше. Но, во-первых, эти инструменты дополняют меню Построение и Преобразование, а во-вторых, есть папка инструментов, создаваемых каждым пользователем. Её можно пополнять своими заготовками, например, начертить и добавить в папку: параллелограмм, правильный треугольник, квадрат, серединный перпендикуляр и другие фигуры.

Рассмотрим использование программы «Живая геометрия» при изучении нового материала.

То есть рассмотрим пример из раздела геометрии «Задачи на построение». При изучении темы «Окружность, описанная около треугольника», разбирается теорема: «Центр окружности, описанной около треугольника, является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника». То есть рассматривается одна из так называемых замечательных точек треугольника – точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Нам необходимо построить чертёж и доказать теорему.

Построим чертёж, отражающий условие теоремы.

Итак, с помощью инструмента Точка готовальни постоим 3 произвольные точки. Затем, с помощью инструмента Текст обозначим точки буквами. Для этого надо просто выполнить щелчок по точке. Если необходимо обозначить точки другими буквами, то нужно выполнить двойной щелчок по букве, откроется диалоговое окно Переименовать, здесь можно ввести необходимое обозначение. Также можно вводить обозначения с индексами.

Теперь попарно выделяя точки (для этого нужно щёлкнуть левой кнопкой мыши по одной точке и, затем, щёлкнуть по второй точке, выберем в меню Построение команду Отрезок; для того чтобы снять выделение, то нужно щёлкнуть на пустом месте рабочей области программы). Также можно выделить все три стороны треугольника и в меню Вид выбрать цвет линий. Итак, мы получили произвольный треугольник АBC.

Теперь построим серединные перпендикуляры. Для этого выделяем отрезок АB и в меню Построение выбираем команду Точка посередине. Далее выделяем построенную середину и отрезок АB и в меню Построение выбираем команду Перпендикуляр.

Аналогично построим серединные перпендикуляры к остальным сторонам треугольника.

Теперь мы можем наглядно убедиться в том, что все три серединных перпендикуляра пересекаются в одной точке. Давайте сохраним созданный нами чертёж, для того чтобы мы могли вернуться к первоначальному варианту, и немного поэкспериментируем.

Обратите внимание, здесь можно перемещать вершины треугольника, и наблюдать за тем, что при любом положении вершин серединные перпендикуляры пересекаются в одной точке.

Например, переместим вершину А так, чтобы точка пересечения серединных перпендикуляров находилась вне треугольника.

Или, переместим вершину А дальше, пока она не попадёт на прямую BC. Обратите внимание, точка пересечения серединных перпендикуляров пропала. Они стали параллельны друг другу. Однако и треугольника не стало.

Или, переместим вершину А дальше и получим точку пересечения с другой стороны треугольника.

Теперь мы можем сделать однозначный вывод: теорема о том, что серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке истинна.

Нам останется только доказать эту теорему строго. Причём использование «подвижного» чертежа нам очень поможет.

Теперь определим размеры сторон треугольника и величины его углов. Для этого выделяем точки А и B, далее в меню Измерение выберем пункт Расстояние. Появится текст AB равно некоторому значению в сантиметрах. Необходимо отметить, что на самом деле для каждого чертежа длина отрезка будет своя.

Этот текст можно расположить в любом удобном месте окна. Аналогично определяем размеры остальных сторон треугольника.

Далее определим размеры углов нашего треугольника. Для этого последовательно выделяем точки C, А, B и в меню Измерение выбираем команду Угол. Появится текст с величиной угла. Аналогично выделяем остальные углы треугольника и определяем их градусные меры. Нужно отметить, что обозначение угла происходит по правилам, принятым в геометрии, то есть если выбираем угол А и хотим его обозначить тремя точками, то буква А должна располагаться посередине. Если просто выделить точку А, то команда Угол в меню Измерение будет недоступна.

Давайте снова поэкспериментируем с чертежом.

Попробуем поместить точку А на серединный перпендикуляр к стороне BC. Обратите внимание, мы получили равнобедренный треугольник и это наглядно видно по размерам сторон AB и CA. Нужно отметить, что в связи с погрешностью вычислений, углы немного отличаются, но их градусная мера примерно одинаковая, как и положено для углов при основании у равнобедренного треугольника.

Теперь попробуем поместить вершину B на серединный перпендикуляр к стороне АC. Точно это сделать достаточно сложно при данном способе выполнения чертежа, но вполне можно получить хорошее приближение, по которому будет видно, что все стороны примерно равны и все углы примерно равны 60⁰.

Теперь давайте переместим вершину А так, чтобы точка пересечения перпендикуляров совпала с серединой стороны BC – точкой T₂. Обратите внимание, мы получили прямоугольный треугольник. В этом мы можем убедиться, посмотрев на измерение угла CAB. То есть мы с вами наглядно показали существенное свойство прямоугольного треугольника, – в прямоугольном треугольнике с любой гипотенузой центр описанной окружности совпадает с серединой гипотенузы.

Вернёмся к нашей теореме и достроим чертёж до конца.

Давайте откроем сохранённый нами чертёж. То есть, мы с вами ещё раз можем убедиться, что использование компьютерного моделирования очень удобно. Мы всегда можем вернуться в первоначальное состояние, не затрачивая время на перечерчивание чертежа. Также лишний раз подчёркивается определённая независимость описанных выше экспериментов с чертежом от содержания теоремы.

Мы с вами знаем, что для построения описанной около треугольника окружности достаточно двух серединных перпендикуляров, ведь они однозначно определяют центр описанной окружности. Поэтому один перпендикуляр на чертеже можно скрыть. Для этого выделяем перпендикуляр к AC и в меню Вид выбираем пункт Спрятать перпендикуляр (или нажать сочетание клавиш Ctrl+H). Точно также можно скрыть точку T₃.

Далее необходимо изобразить центр описанной окружности: выделяем перпендикуляры и в меню Построение выбираем команду Точка на пересечении. С помощью инструмента Текст обозначим её буквой О. Осталось построить окружность. Для этого выделяем точку О и одну из вершин треугольника, например, А. Теперь в меню Построение выбираем команду Окружность по центру и точке. Здесь также необходимо отметить, что первым нужно выделить центр окружности, а затем точку на окружности, иначе окружность будет построена не та, что нам необходима.

Итак, нам нужно доказать, что через центр описанной около треугольника окружности проходят серединные перпендикуляры к его сторонам.

Изобразим радиусы окружности ОB и ОC, и измерим их. Теперь измерим длины отрезков CT₂ и T₂B. Таким образом, на чертеже наглядно видно (благодаря измерениям), что треугольник OCB – равнобедренный и что точка T₂– это середина отрезка BC, то есть ОT₂ – это медиана, а в равнобедренном треугольнике она является высотой.

Таким образом, благодаря компьютерной модели мы с вами можем не просто «сухо» доказать теорему, а «увидеть это доказательство», ведь, как известно «лучше один раз увидеть, чем сто раз услышать».

После этого доказательства можно изложить доказательство строго, опираясь на готовый чертёж. То есть записать доказательство схематично, как это принято в геометрии.

Дан треугольник ABC, точка О – это центр описанной окружности. Нужно доказать, что точка О — это точка пересечения серединных перпендикуляров.

Доказательство. Рассмотрим треугольник ОCB. Он равнобедренный, так как у него стороны ОB и ОC равны как радиусы окружности. ОT₂ является медианой, так как точка T₂ – является серединой стороны BC. Так как треугольник ОCB является равнобедренным, то ОT₂является и биссектрисой, и высотой данного треугольника.  Поэтому центр окружности лежит на прямой, которая перпендикулярна стороне BC и проходит через её середину.

Аналогично доказывается, что центр окружности лежит на перпендикулярах к двум другим сторонам треугольника.

Обратите внимание, после работы с чертежом, с помощью компьютерной программы, готовое доказательство уже не кажется взятым «с потолка».