Отношение площадей подобных треугольников

На прошлом уроке мы с вами говорили, что подобными называются треугольники, у которых углы соответственно равны, а сходственные стороны пропорциональны.

Число k, равное отношению сходственных сторон подобных треугольников, называется коэффициентом подобия.

Напомним, что подобие треугольников обозначается следующим образом .

На этом уроке мы докажем теорему об отношении площадей двух подобных треугольников.

Теорема. Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Доказательство.

,  – коэффициент подобия.

, .

, .

, ,

Следовательно, .

Что и требовалось доказать.

Задача. Площади подобных треугольников  и  равны соответственно  см² и  см². Сторона  см. Найдите сходственную ей сторону  треугольника .

Решение.

Выше мы доказали, что отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. , , .

, ,  (см).

Ответ:  см.

Задача. Докажите, что отношение периметров двух подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

Доказательство.

,  – коэффициент подобия.

, , , , , .

, .

, ,

.

Что и требовалось доказать.

Задача. Треугольники  и  подобны. Сходственные стороны  и  соответственно равны  см и  м. Найдите отношение периметров треугольников  и .

Решение:

 м см.

.

.

Ответ: .

Итак, на этом уроке мы доказали, что отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. А также решили несколько задач. Причём при решении одной из них установили, что отношение периметров двух подобных треугольников равно коэффициенту подобия.