Квадратные неравенства. Рациональные неравенства. Иррациональные неравенства

Напомним, что неравенство, содержащее одну переменную, называется неравенством с одной переменной, или неравенством с одной неизвестной.

, , , , ,

где ,  – некоторые функции переменной .

Неравенства, содержащие знаки  или , называются строгими, а содержащие знаки  или  – нестрогими.

Решением неравенства с одной переменной называется такое значение переменной, при подстановке которого неравенство обращается в верное числовое неравенство. Решить неравенство – это значит найти все его решения или доказать, что решений нет.

Равносильными называются неравенства, множества решений которых совпадают. В частности, равносильны все неравенства, не имеющие корней.

Теоремы о равносильности неравенств с переменными.

1. .

2. , если  имеет смысл
в области определения неравенства .

3. , если  для всех значений  из области определения неравенства .

4. , если  для всех значений  из области определения неравенства .

5. .

6.  если , ; .

Напомним, что линейным неравенством называется неравенство вида

 (, , ),

где  – переменная,  и .

Давайте решим следующее неравенство: .

Решение.

Теперь вспомним, что квадратным неравенством называется неравенство вида

 (, , ),

где  – переменная, , , , причём .

Существует два метода решения квадратных неравенств. Первый метод – графический. При решении неравенств этим методом определяется одно из шести возможных расположений графика в зависимости от знаков старшего коэффициента  и .

Так, например, если рассматривать неравенство , то из приведённой таблицы видно, что , если , . Решением будет , если , . Неравенство не имеет решений, если , . Решением является если , . Решением неравенства будет , если ,  и , .

Давайте решим квадратное неравенство графическим методом: .

Решение.

Рассмотрим аналитический метод решения неравенств. Его также называют методом интервалов. Так, например, при решении неравенства  этим методом сначала находятся корни квадратного трёхчлена, и он раскладывается на множители .

Если , то неравенство равносильно неравенству .

Если , то неравенство равносильно .

Затем полученные неравенства можно решить методом интервалов. При решении неравенств метод интервалов нужно:

1. найти нули функции, заданной левой частью неравенства;

2. нанести найденные точки на числовую прямую, тем самым разбив её на интервалы, в каждом из которых рациональная функция сохраняет знак (причём если мы решаем строгое неравенство, то точки изображаем выколотыми, а если решаем нестрогое неравенство, то закрашенными);

3. определить знак функции на любом из интервалов (лучше крайнем);

4. определить знаки на остальных интервалах: при переходе через точку знак меняется на противоположный, если точка является корнем нечётной степени кратности; при переходе через точку чётной кратности знак сохраняется;

5. затем выбрать интервалы, на которых значения функции имеют знак, соответствующий знаку неравенства;

6. записать ответ.

Решим методом интервалов предыдущее неравенство: .

Решение.

Теперь вспомним, что рациональным неравенством называется неравенство, которое содержит только рациональные функции.

Например, ;  – рациональные неравенства.

Линейные и квадратные неравенства также являются рациональными.

Рациональные неравенства бывают целыми (в них нет операции деления на выражение, содержащее переменную).

Например, .

И бывают дробно-рациональными (в них есть операция деления на выражение, содержащее переменную).

Например, .

Основным методом решения рациональных неравенств является метод интервалов.

Давайте решим следующее неравенство: .

Решение.

Также напомним, что иррациональным неравенством называется неравенство, которое содержит переменные под знаком корня. Основным методом решения иррациональных неравенств является метод сведения исходного неравенства к равносильной системе рациональных неравенств или совокупности таких систем.

Решим следующее неравенство: .

Решение.