Напомним, что показательным называется уравнение, содержащее переменные только в показателе степени.
Уравнение , где и , называется простейшим показательным.
Если , то уравнение имеет единственное решение .
Если , то уравнение не имеет корней.
Решение показательных уравнений основано на свойстве степеней: две степени с одним и тем же положительным и отличным от единицы основанием равны тогда и только тогда, когда равны их показатели.
Давайте рассмотрим некоторые виды показательных уравнений и методы их решения.
1. Приведение обеих частей уравнения к одному основанию .
Полученное уравнение при и равносильно уравнению .
Уравнение вида , при , равносильно уравнению , так как .
Решите уравнение .
Решение.
2. Вынесение общего множителя за скобки в уравнениях, в левой части которых записана сумма или разность степеней с одним основанием.
Например, .
Причём, если , выносится степень с меньшим показателем, если , – степень с большим показателем.
Решите уравнение . .
Решение.
3. Уравнения вида
,
где , , – некоторые числа, причём , и , сводятся к решению квадратного уравнения (или уравнения более высокой степени) при помощи замены при .
Решите уравнение .
Решение.
А теперь перейдём к логарифмическим уравнениям. Напомним, что логарифмическим называется уравнение, содержащее переменные только под знаком логарифма.
Давайте рассмотрим основные виды логарифмических уравнений и методы их решения.
1. Логарифмические уравнения, решаемые по определению логарифма.
Уравнение вида при , и равносильно уравнению .
Решите уравнение .
Решение.
2. Уравнения первой степени относительно логарифма, решаемые потенцированием.
Уравнения вида при и равносильны каждой из следующих систем:
или
При решении таких уравнений переходят только к одной из указанных систем (более простой) либо к уравнению , корни которого проверяют подстановкой в исходное уравнение, так как они могут быть посторонними для него.
Решите уравнение .
Решение.
3. Уравнения второй степени и выше относительно логарифма, решаемые как алгебраические, чаще всего с использованием подстановки.
Решите уравнение .
Решение.
4. Однородные логарифмические уравнения.
Решите уравнение .
Решение.