Первообразная

Сегодня на уроке мы введём понятие первообразной функции. Познакомимся с основным свойством первообразных.

Перейдём к рассмотрению новой темы. прямой. Закон движения точки  задан функцией . Тогда мгновенная скорость  равна производной функции , то есть верно равенство . Об этом мы с вами говорили на одном из предыдущих занятий.

На практике встречается обратная задача, где по заданной скорости движения точки  надо найти закон движения, то есть найти такую функцию , производная которой равна .

Функцию , такую что , называют первообразной функции .

Приведём пример. Пусть , где  – заданное число. Тогда функция  является первообразной функции , так как .

Сформулируем определение. Функция  называется первообразной функции  на некотором промежутке, если для любого  из этого промежутка .

Например, функция  – первообразная функции , так как .

Функция  – первообразная функции , так как .

Давайте докажем, что функции , ,  являются первообразными функции .

Обозначим .

Тогда .

Вторую функцию обозначим как .

Найдём .

Третью функцию обозначим как .

Найдём .

Получается, что производные всех трёх функций равны. Становится понятно, что эти функции не являются единственными первообразными функции . Вообще, любая функция вида , где  – постоянная, является первообразной функции . Это следует из того, что производная постоянной равна нулю. Рассмотренный пример показывает, что для заданной функции её производная определяется неоднозначно.

Пусть  и  – две первообразные функции . Тогда  и . Обозначим функцией .

Найдём производную этой разности:

.

Мы знаем, что если производная функции  равна 0 на некотором промежутке, то касательная к графику функции  параллельна оси  в каждой точке этого промежутка. Поэтому графиком функции  является прямая, параллельная оси , то есть , где  – некоторая постоянная.

Тогда . Откуда следует, что .

Итак, основное свойство первообразных заключается в следующем: каждая первообразная функции  на некотором промежутке может быть записана в виде , где  – одна из этих первообразных функции  на том же промежутке, а  – произвольная постоянная.

Основному свойству первообразных можно придать геометрический смысл. Если  – одна из первообразных функции , то любая первообразная этой функции получается прибавлением к  некоторой постоянной: .

Так, из графика функции  получаются графики функций  сдвигом вдоль оси Oy. Получается, что выбором постоянной C можно добиться того, чтобы график первообразной проходил через заданную точку.

Прежде чем приступить к выполнению заданий, давайте докажем, что для любого действительного  функция  является первообразной функции  на промежутке .

А теперь выполним несколько заданий.

Задание первое. Покажите, что функция  является первообразной функции  на множестве :

а) , ; б) , .

Решение.

Задание второе. Найдите все первообразные функций:

а) ; б) .

Решение.

Задание третье. Для функции  найдите первообразную, график которой проходит через точку .

Решение.