Треугольник и его виды

Давайте представим себе такую историю.

– Да как же их тут может оказаться 12? – удивился Саша.

– Саша, что ты там бормочешь? – спросил у друга Паша.

– Да я тут нашёл интересную задачку. Посмотри: нужно посчитать сколько треугольников изображено на рисунке.

– И что тут сложного? – сказал Паша. – Посчитай и всё!

– Так я и посчитал! – пробормотал Саша. – У меня их получилось 6, а в ответе к задаче почему-то написано, что на рисунке изображено 12 треугольников.

– Саша, чтобы увидеть все треугольники на этом рисунке, нужно прежде всего знать, какие бывают виды треугольников.

– Треугольник, он же и в Африке – треугольник! – возмутился Саша. – Какие ещё могут быть виды треугольников?

– А давай спросим у Электроши, он точно знает, какие виды треугольников бывают.

– Ребята, прежде чем я вам расскажу о треугольниках и их видах, давайте немного разомнёмся и выполним устные задания, – предложил Электроша.

– Давайте сверимся! Посмотрите, что у вас должно было получиться!

– А теперь поговорим о треугольниках, – предложил Электроша. – И сразу начнём с вопроса: как вы понимаете, что такое треугольник?

– Треугольник – это геометрическая фигура, – начал Саша.

– Треугольник – это многоугольник, который состоит из 3 углов, 3 вершин и 3 сторон, – продолжил Паша.

– Молодцы! – похвалил ребят Электроша.  – Но хотелось бы уточнить ваши представления о треугольнике. Запомните! Треугольник – это геометрическая фигура, образованная тремя точками, не лежащими на одной прямой, и тремя отрезками, попарно соединяющими эти точки.

Традиционно вершины треугольника обозначают заглавными буквами латинского алфавита: А, B, C. Но, конечно, можно использовать и другие буквы. В тексте треугольник обозначают вот таким символом  и тремя прописными буквами, стоящими при вершинах.

– А теперь давайте рассмотрим треугольник ABC. Вы уже знакомы с элементами многоугольников. Назовите, из каких элементов состоит наш треугольник.

– Треугольник ABC состоит из 3 вершин: А, B, C, 3 углов: А, B, C и 3 сторон: AB, BC, CA, – перечислили мальчишки.

– Всё верно! – подтвердил Электроша.

Основными признаками треугольника являются 3 угла и 3 стороны. Вот как раз по этим элементам можно выделить 6 видов треугольников.

– Ого! Как много! – удивились ребята.

– Итак, треугольники можно различать по виду их углов. Вы знаете, что углы могут быть острыми, прямыми и тупыми.

В зависимости от величин углов различают следующие виды треугольников: остроугольные, прямоугольные и тупоугольные.

Запомните! Если все углы треугольника острые, то есть меньше 90 градусов, то его называют остроугольным треугольником.

Если один из углов треугольника прямой, то есть равен 90 градусам, то его называют прямоугольным треугольником.

Если же один из углов треугольника тупой, то есть больше 90 градусов, то его называют тупоугольным треугольником.

– Треугольники также можно классифицировать ещё и по количеству равных сторон, – продолжил Электроша. – Выделяют следующие типы: равнобедренный треугольник, равносторонний треугольник и разносторонний треугольник.

Запомните! Если две стороны треугольника равны, то его называют равнобедренным треугольником. Посмотрите: на листе изображён треугольник ABC, у которого стороны AB и BC равны. Такой треугольник называют равнобедренным. На рисунке равные стороны принято отмечать равным количеством чёрточек. Равные стороны AB и BC называют боковыми сторонами, а сторону AC – основанием равнобедренного треугольника ABC. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Если три стороны треугольника равны, то его называют равносторонним треугольником. Посмотрите: на рисунке изображён треугольник MNP. Его стороны MN, NP и PM равны. Такой треугольник называют равносторонним. В равностороннем треугольнике все углы равны. Если сторона равностороннего треугольника равна а, то его периметр вычисляют по формуле: P = 3a.

Если три стороны треугольника имеют различную длину, то его называют разносторонним треугольником.

– Электроша, а в разностороннем треугольнике стороны могут быть совершенно любыми? – спросил Саша.

– Нет, – ответил Электроша, – для того чтобы треугольник существовал, должно выполняться особое условие. Запомните! В треугольнике длина каждой стороны меньше суммы длин двух других сторон.

– Электроша, теперь я понял, о каких видах треугольников мне говорил Паша, – обрадовался Саша. – Сейчас я точно смогу посчитать треугольники на рисунке.

На рисунке можно увидеть 6 маленьких равнобедренных треугольников,
4 прямоугольных треугольника и 2 больших равнобедренных треугольника.

Посчитаем… Точно! На рисунке 12 треугольников, – обрадовался Саша.

– Электроша, а существует ли какой-нибудь особый инструмент для построения треугольников? – спросил Паша.

– Любой треугольник можно построить при помощи линейки и транспортира. Сейчас я покажу вам, как это сделать.

Давайте построим треугольник ABC, у которого угол А равен 30 градусам, сторона AB имеет длину 4 см, а сторона AC – 5 см.

Итак, с помощью транспортира построим угол А, градусная мера которого равна 30 градусам. Затем на одной стороне угла от его вершины с помощью линейки отложим отрезок AB равный 4 см, а на второй стороне – отрезок AC равный 5 см. Осталось соединить отрезком точки B и C. Так мы построили искомый треугольник ABC.

– А теперь, ребята, давайте посмотрим, как вы всё поняли, и выполним несколько заданий.

Задание первое: определите вид каждого треугольника.

Решение: так как в первом треугольнике одинаковыми чёрточками отмечены 3 стороны, значит, он равносторонний. Также мы знаем, что равносторонний треугольник является и остроугольным. Во втором треугольнике 2 стороны отмечены одинаковыми чёрточками. Это говорит нам о том, что данный треугольник является равнобедренным. Судя по углам, можем сказать, что он ещё и остроугольный. В следующем треугольнике все три стороны отмечены разными чёрточками. Значит, он имеет 3 стороны разной длины. Следовательно, этот треугольник разносторонний. Также видно, что он остроугольный. В четвёртом треугольнике снова 3 стороны отмечены разными чёрточками. Значит, он разносторонний. Видим, что один угол этого треугольника прямой. Следовательно, треугольник прямоугольный. И последний треугольник. Три стороны отмечены разными чёрточками, значит, треугольник разносторонний. Видим, что один из углов этого треугольника больше 90 градусов. Следовательно, треугольник тупоугольный.

Следующее задание: определите по сторонам существование треугольника.

Решение: чтобы треугольник существовал, должно выполняться следующее условие: в треугольнике длина каждой стороны должна быть меньше суммы длин двух других сторон. В первом случае стороны треугольника равны 10 см, 1 см и 2 см. Проверим, выполняется ли условие. И сразу видим, что 10 больше суммы 1 и 2. То есть условие не выполняется. Значит, такой треугольник не существует. Во втором случае стороны треугольника равны 18 см, 30 см и 36 см. Проверим, выполняется ли условие. Видим, что любая сторона данного треугольника меньше суммы длин двух других сторон. Значит, такой треугольник существует.

И последнее задание: равнобедренный треугольник имеет периметр 37 см, а его основание имеет длину 9 см. Определите длину боковой стороны треугольника.

Решение: равнобедренный треугольник имеет 2 равные стороны. Сумма равных сторон будет равна 37 – 9 = 28 см. Значит, каждая из них будет равна 14 см. Ответ: боковая сторона треугольника имеет длину 14 см.