Преобразование выражений, содержащих знак корня

Вопросы занятия:

·  вспомнить основные понятия, связанные с квадратными корнями;

·  вспомнить свойства арифметического квадратного корня;

· рассмотреть, какие преобразования можно выполнять в выражениях, содержащих знак корня.

Материал урока

Стоит напомнить, что квадратным корнем из числа 𝑎 называют такое число 𝑏, квадрат которого равен 𝑎 ().

Например, числа 8 и –8 квадратные корни из числа 64, так как  и .

Из любого неотрицательного действительного числа существует квадратный корень.

Квадратный корень из отрицательного числа не существует.

Если  – квадратный корень из числа а, то  также является квадратным корнем из числа а, и других квадратных корней из числа а нет.

Также вы помните, что арифметическим квадратным корнем из числа а называют неотрицательное число, квадрат которого равен а и обозначается он так:

Например,

Знак  называется знаком арифметического квадратного корня.

Выражение, стоящее под знаком корня, называется подкоренным выражением.

Извлечь квадратный корень из числа а – это значит найти значение выражения .

Выражение  при  не имеет смысла.

Не путайте квадратный корень и арифметический квадратный корень из числа.

Запись  читают «квадратный корень из а». Слово «арифметический» при чтении опускают.

Значок  всегда означает «арифметический квадратный корень из числа».

Из определения квадратного корня следует тождество:

Например,

Напомним, что над выражениями, содержащими квадратные корни можно выполнять ряд преобразований. К таким преобразованиям относят: преобразования корней из произведения, дроби и степени; умножение и деление корней; вынесение множителя за знак корня, внесение множителя под знак корня и избавление от иррациональности в знаменателе.

Теперь стоит повторить свойства арифметического квадратного корня и их применения.

Итак, первое свойство: если  и , то .

Чтобы извлечь квадратный корень из произведения неотрицательных чисел, можно извлечь его из каждого сомножителя отдельно и результаты перемножить.

Следует помнить, что это свойство распространяется и на тот случай, когда подкоренное выражение представляет собой произведение трёх, четырёх и т.д. неотрицательных множителей.

Например, если , , , то .

Сделаем вывод: корень из неотрицательных множителей равен произведению корней из этих множителей.

Верно и обратное утверждение: произведение корней из неотрицательных чисел равно корню из произведения этих чисел.

Задание.

Вычислить значение выражения:

а) ;                                        б) .

Первое выражение: . Воспользуемся свойством корня из произведения. Тогда корень из произведения этих чисел можно записать произведением корней, т.е. произведением . Найдём значения каждого из корней. В результате получим,

Следующее выражение: . Воспользуемся свойством корня из произведения. Тогда произведение этих корней равно корню из произведения . Затем представим подкоренное выражение в виде множителей, каждый из которых является квадратом целого числа. Тогда произведение значений каждого корня равно:

Следующее свойство: если  и , то .

Чтобы извлечь квадратный корень из дроби, можно извлечь корень отдельно из числителя и знаменателя и первый результат разделить на второй.

Сделаем вывод: корень из дроби, числитель которой неотрицателен, а знаменатель положителен, равен корню из числителя, делённому на корень из знаменателя.

Верно и обратное утверждение: частное корней равно корню из частного этих чисел.

Задание.

Вычислить значение выражения:

а);                                                      б) .

Первое выражение: . Найдём его значение. Представим подкоренное выражение в виде неправильной дроби. Получим,

Следующее выражение: . Воспользуемся свойством корня из дроби. Тогда получим,

Перейдём к следующему свойству: при любом значении а верно равенство: .

Равенство  является тождеством. Это тождество применяется при извлечении квадратного корня из степени с чётным показателем.

Чтобы извлечь корень из степени с чётным показателем, достаточно представить подкоренное выражение в виде квадрата некоторого выражения и воспользоваться тождеством: .

Задание.

Найти значение выражения:

а) ;                           б) ;                     в) .

Первое выражение: . Видим, в подкоренном выражении записана чётная степень. Применим свойство корня из степени с чётным показателем. Тогда, получим,

Следующее выражение: . Как и в предыдущем  выражении под корнем имеем чётную степень. Значит, можем воспользоваться свойством корня из чётной степени. Тогда получим,

И последнее выражение: . Перепишем подкоренное выражение, как . Теперь в подкоренном выражении имеем чётную степень. По свойству корня из степени с чётным показателем получим,

А теперь давайте перейдём к таким преобразованиям выражений, содержащих квадратные корни, как вынесение множителя из-под знака корня и внесение множителя под знак корня.

Итак, если  и , то .

Такое преобразование называют вынесением множителя из-под знака корня.

Задание.

Вынесите множитель из-под знака корня:

а) ;                                                            б) .

Первое выражение: . Представим подкоренное выражение в виде произведения 16 и 2. Число 16 – это, в свою очередь, 4². Тогда получим,

Следующее выражение: . Аналогично предыдущему примеру, подкоренное выражение представим в виде произведения 4 и 17. Упростим произведение. В итоге получим,

Если  и , то .

Если  и , то .

Такое преобразование называют внесением множителя под знак корня.

Задание.

Внесите множитель под знак корня:

а) ;                                                            б) .

Первое выражение: . Представим число 5 в виде арифметического квадратного корня. Выполним умножение, применяя свойство корня из произведения. Получим,

Следующее выражение: . Число 0,3 представим в виде произведения  и 0,3. Затем число 0,3 представим в виде корня. Воспользуемся свойством корня из произведения. Посчитаем. Получим,

Очень важное место в преобразовании выражений, содержащих квадратные корни, занимает избавление от иррациональности в знаменателе или числителе дроби.

Если , то .

Такое преобразование называют избавлением от иррациональности в знаменателе дроби.

Задание.

Избавиться от иррациональности в знаменателе дроби:

а) ;                         б) ;                     в) .

Первое выражение: . Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби, нам пригодится основное свойство дроби: если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю, то значение дроби не изменится. Т.е. чтобы избавиться от корня в знаменателе дроби мы можем числитель и знаменатель дроби умножить на этот корень. Умножим числитель и знаменатель нашей дроби на . Упростим числитель и знаменатель дроби. Получим,

Следующее выражение. Умножим числитель и знаменатель дроби на . Упростим. В итоге получим,

Следующее выражение немного посложнее: . Но не стоит сразу пугаться! Чтобы избавиться от иррациональности в данной дроби, нам следует обратиться к формуле разности квадратов. Для применения этой формулы нам нужно умножить числитель и знаменатель дроби на выражение . Сворачивая знаменатель по формуле разности квадратов, получим,

Посмотрите, мы избавились от иррациональности в знаменателе. Выражение  называют сопряжённым выражением по отношению к выражению . Поэтому очень часто вместо того чтобы говорить умножим числитель и знаменатель на сумму или разность тех или иных выражений, говорят просто «умножим на сопряжённое выражение знаменателю (числителю)».

А теперь давайте рассмотрим задания на преобразование выражений, которые содержат квадратные корни.

Задание.

Упростить выражение:

.

Рассмотрим выражение: . Каждое подкоренное выражение представим в виде произведения, таким образом, чтобы хотя бы один из множителей являлся квадратом натурального числа. Затем воспользуемся свойством корня из произведения. Теперь применим свойство корня из степени с чётным показателем. Упростим получившееся выражение. Обратите внимание, все слагаемые в нашем примере имеют корни с одинаковыми подкоренными выражениями. И отличаются лишь коэффициентами, записанными перед ними. Корни, которые имеют одинаковые подкоренные выражения, являются подобными слагаемыми. Чтобы привести подобные слагаемые достаточно сложить их коэффициенты и умножить на одинаковое выражение, содержащее корень. Приведём подобные слагаемые в нашем примере. Получим,

Задание.

Преобразовать выражение:

.

Воспользуемся формулой квадрата суммы. Упростим это выражение. Воспользуемся следствием из определения квадратного корня. Затем применим свойство корня из произведения. Приведём подобные. В итоге получим,

Задание.

Сократить дроби:

а) ;                                                        б) .

Рассмотрим первую дробь: . Напомним, что для выполнения сокращения дроби необходимо разложить выражения (в числителе или знаменателе) на множители. Для этого используют вынесение общего множителя за скобки или же применяют формулы сокращённого умножения. В нашем случае в числителе дроби число 7 можно представить, как . Тогда вынесем общий множитель  за скобку. Смотрите, дробь можно сократить на выражение . После сокращения получим,

Теперь перейдём ко второй дроби: . Заметим, что в числителе  можно представить, как , а 2, как . Тогда числитель данной дроби можно разложить по формуле разности квадратов двух выражений. Сократим дробь на выражение . В результате получим,

Итоги урока

На этом уроке поговорили о «преобразовании выражений, содержащих знак корня». Вспомнили основные понятия, связанные с квадратными корнями. Поговорили о свойствах арифметического квадратного корня. А затем рассмотрели, какие преобразования можно выполнять в выражениях, содержащих знак корня.