Рациональные выражения

Вопросы занятия:

·  вспомнить, какие выражения называют рациональными;

·  поговорить об основном свойстве дробей;

· вспомнить, как выполняют действия над рациональными дробями.

Материал урока

Прежде, чем мы начнём говорить о рациональных выражениях, стоит вспомнить такие понятия, как «целые выражения» и «дробные выражения».

Итак, целые выражения – это выражения, составленные из чисел и переменных с помощью действий сложения, вычитания и умножения, а также деления на число, отличное от нуля.

Например, целыми являются выражения:

Любое целое выражение можно представить многочленом.

В отличие от целых выражений, дробные выражения помимо действий сложения, вычитания и умножения, содержат деление на выражение с переменными.

Т.е. дробные выражения – это выражения, составленные из чисел и переменных с помощью действий сложения, вычитания, умножения и деления на выражения с переменными.

Например, дробными будут выражения:

Напомним, что значения переменных, при которых выражение имеет смысл, называют допустимыми значениями переменных.

Множество всех допустимых значений переменных называется областью допустимых значений (коротко ОДЗ) или областью определения выражения.

Область определения целого выражения – любые значения переменных. Чтобы найти значение целого выражения, нужно подставить указанное значение переменной и выполнить все действия.

Например, целое выражение:  имеет смысл при любых действительных , ,  и .

Дробное же выражение при некоторых значениях переменных может не иметь смысла.

Область определения дробного выражения – все значения переменных, при которых делители этого выражения не равны нулю.

Например, дробное выражение  не имеет смысла при . Так как в этом случае в знаменателе получится нуль. А мы помним, что на нуль делить нельзя. При всех же остальных значениях переменных это выражение имеет смысл.

Целые и дробные выражения называют рациональными выражениями.

Определение.

Рациональными выражениями называют выражения, составленные из чисел, переменных, их степеней и знаков арифметических действий.

Например,

Чтобы найти значение рационального выражения, надо:

1)    подставить числовое значение переменной в данное выражение;

2)    выполнить все действия.

Задание.

Найти значение дроби:

а) , при  ;           б) , при ;             в) , при .

Первое выражение: . Подставим указанное значение  в выражение. Выполним действия. В результате получим,

Переходим ко второму дробному выражению . Нужно найти его значение при . Значит, подставим указанное значение вместо а. Выполним все действия по порядку. Получим,

И третье дробное выражение: . Найдём его значение при . Подставим указанное значение. Выполним действия. Получим,

Заметили, в знаменателе получился нуль? Разве мы можем делить на нуль? Правильно! Значит, выражение:  не имеет смысла при , так как на нуль делить нельзя.

Как вы уже знаете, выражение вида  называется дробью.

Определение.

Дробь, числитель и знаменатель которой многочлены, называют рациональной дробью.

Например, выражения:

являются рациональными дробями.

Область определения рациональной дроби – все значения переменных, при которых знаменатель не равен нулю.

Задание.

Указать область определения следующих рациональных дробей:

а) ;                                                б) .

Итак, первый пример: . Область определения данной дроби: все действительные числа, кроме тех, при которых знаменатель , т.е. все числа, кроме  и .

И второй пример: . Область определения данной дроби все действительные числа, так как знаменатель  ни при каких а.

Рассмотрим равенство: .

Это равенство верно при всех допустимых значениях переменной, т.е. при всех , кроме  и .

Такое равенство называют тождеством.

Определение.

Тождество – это равенство, верное при всех допустимых значениях входящих в него переменных.

Два выражения, принимающие равные значения при всех допустимых значениях переменных, называются тождественно равными.

Замену одного такого выражения другим называют тождественным преобразованием выражения.

Справедливо следующее тождество: , если , где  и  – не равные нулю многочлены.

Рассмотрим равенство: .

Это равенство верно при всех допустимых значениях переменной , т.е. при всех  кроме  и . Так как .

Перейдём к основному свойству рациональной дроби.

Итак, основное свойство рациональной дроби сводится к тому, что:

Если числитель и знаменатель рациональной дроби умножить на один и тот же ненулевой многочлен, то получится равная ей дробь.

Если числитель и знаменатель рациональной дроби разделить на один и тот же ненулевой многочлен, то получится равная ей дробь.

Основное свойство рациональной дроби позволяет сокращать дроби и приводить дробь к новому знаменателю.

Чтобы сократить рациональную дробь, нужно предварительно разложить на множители числитель и знаменатель дроби, а затем разделить их на общие множители.

Задание.

Привести дроби к новому знаменателю:

а)  к знаменателю ;              б)  к знаменателю .

Первая рациональная дробь: . Её нужно привести к знаменателю . Не трудно заметить, что  – это произведение . Значит, мы должны умножить дробь на . Напомним, что для того чтобы значение дроби не изменилось, нужно и числитель, и знаменатель умножить на одно и то же число. Тогда получаем дробь:

Множитель:  называют дополнительным множителем к числителю и знаменателю дроби .

Вторая дробь: . Её нужно привести к новому знаменателю . Для этого числитель и знаменатель дроби нужно умножить на выражение: . Выполним умножение. Получим дробь:

Задание.

Сократить дроби:

а) ;                                                              б) .

Рассмотрим первую рациональную дробь. Числитель состоит из произведения ,  и , знаменатель из произведения ,  и . Дробь можно сократить на общий множитель . В итоге получим дробь,

Вторая рациональная дробь: . В числителе вынесем общий множитель  за скобку. Сократим дробь на общий множитель . В результате получим,

Перейдём к действиям над рациональными дробями. Давайте вспомним, какие действия можно выполнять над рациональными дробями и по каким правилам.

Итак, правило сложения рациональных дробей с одинаковыми знаменателями:

Чтобы сложить рациональные дроби с одинаковыми знаменателями, надо сложить их числители, а знаменатель оставить тем же.

В буквенном виде это правило записывают так:

где ,  и  – многочлены, причём  – не равный нулю многочлен. Это правило справедливо при сложении любого числа дробей.

Например, найдём сумму дробей .

Видно, что у первой и второй рациональных дробей один и тот же знаменатель. Воспользуемся правилом сложения рациональных дробей с одинаковыми знаменателями. Сложим их числители, а знаменатель оставим тем же. Получим,

Вычитание рациональных дробей с одинаковыми знаменателями выполняется аналогично сложению.

Вспомним правило вычитания рациональных дробей с одинаковыми знаменателями.

Чтобы выполнить вычитание рациональных дробей с одинаковыми знаменателями, надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить тем же.

В буквенном виде это правило записывают так:

где ,  и  – многочлены, причём  – не равный нулю многочлен.

Рассмотрим пример. Найти разность дробей .

Дроби имеют одинаковые знаменатели. Значит, можем смело воспользоваться правилом вычитания рациональных дробей с одинаковыми знаменателями. Из числителя первой дроби вычтем числитель второй дроби, знаменатель оставим прежним. Сократим числитель и знаменатель дроби на выражение . В итоге получим,

Сложение и вычитание рациональных дробей с разными знаменателями выполняется аналогично сложению и вычитанию дробей с одинаковыми знаменателями, но предварительно нужно дроби привести к общему знаменателю.

где , ,  и  – многочлены, причём ,  – не равные нулю многочлены.

Вспомним алгоритм приведения дробей к наименьшему общему знаменателю:

1) разложить на множители знаменатель каждой дроби;

2) найти дополнительный множитель каждой дроби. Он равен произведению тех множителей знаменателей остальных дробей, которые не содержатся в знаменателе этой дроби;

3) домножить числитель и знаменатель каждой дроби на её дополнительный множитель.

Задание.

Представить в виде дроби:

.

Знаменатели дробей представлены в виде одночленов. Разложим знаменатель последней дроби на множители, применяя формулу разности квадратов. Затем приведём дроби к общему знаменателю. Общим знаменателем трёх дробей является выражение . Значит, дополнительным множителем к первой дроби будет выражение , а дополнительным множителем ко второй дроби: . Тогда получим,

Теперь дроби имеют одинаковые знаменатели. А значит, можем воспользоваться правилом сложения рациональных дробей с одинаковыми знаменателями. Упростим числитель, получившейся дроби. Обратите внимание, в числителе можем вынести общий множитель 2 за скобки. Сократим числитель и знаменатель на выражение . В результате, получим дробь:

Умножение рациональных дробей выполняется аналогично умножению обыкновенных дробей.

Вспомним правило умножения рациональных дробей.

Чтобы умножить дробь на дробь, нужно перемножить их числители и перемножить их знаменатели и первое произведение записать числителем, а второе – знаменателем дроби.

В буквенном виде это правило записывают так:

где , ,  и  – многочлены, причём ,  – не равные нулю многочлены.

Это правило выполняется и когда произведение трёх и более рациональных дробей.

Прежде чем выполнять умножение рациональных дробей, полезно их числители и знаменатели разложить на множители. Это облегчит сокращение той рациональной дроби, которая получится в результате умножения.

Рассмотрим пример. Выполнить умножение рациональных дробей:

.

Воспользуемся правилом и умножим числитель первой дроби на числитель второй дроби, знаменатель первой дроби на знаменатель второй дроби. Сократим дробь. В результате получим:

Теперь вспомним, как выполняется возведение рациональной дроби в степень.

Чтобы возвести дробь в степень, надо возвести в эту степень числитель и знаменатель и первый результат записать в числителе, а второй в знаменателе дроби.

В буквенном виде это правило записывают так:

где 𝒂, 𝒃 – многочлены, причём .

Рассмотрим пример. Возведём в 4-ую степень дробь .

Воспользуемся правилом возведения рациональной дроби в степень. Получим дробь,

Обратите внимание, что и числовой множитель в числителе мы также возводим в степень.

Деление рациональных дробей сводится к делению обыкновенных дробей.

Вспомним правило деления рациональных дробей:

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй.

В буквенном виде это правило записывают так:

где 𝒂, 𝒃, 𝒄 и 𝒅 – многочлены, причём ,  и .

Прежде чем выполнять деление рациональных дробей, полезно их числители и знаменатели разложить на множители. Это облегчит сокращение той рациональной дроби, которая получится в результате деления.

Рассмотрим пример. Выполнить деление рациональных дробей:

.

Воспользуемся правилом деления рациональных дробей. Т.е. первую дробь умножим на дробь обратную второй или, что то же самое числитель первой дроби умножим на знаменатель второй дроби, а знаменатель первой дроби умножим на числитель второй дроби. Заметим, в числителе дроби мы можем вынести  за скобку, а в знаменателе: 3 за скобку. Затем сократим числитель и знаменатель получившейся дроби на  и на выражение . В результате получим дробь:

Итоги урока

На этом уроке мы разобрали тему «рациональные выражения». Вспомнили, какие выражения называют рациональными. Поговорили об основном свойстве дробей. И вспомнили, как выполняют действия над рациональными дробями.