Логарифмические неравенства

Вопросы занятия:

• рассмотреть логарифмические неравенства;

• познакомить с основными методами их решения;

• рассмотреть подробные примеры решения логарифмических неравенств.

Материал урока

Прежде всего, давайте определим, какие же неравенства мы будем называть логарифмическими?

Определение:

Логарифмическими неравенствами называют неравенства вида:

и неравенства сводящиеся к этому виду.

Очевидно, что:

Преобразуем наше неравенство, воспользуемся свойствами логарифмов и получим неравенство:

У нас может быть два случая:

Учитывая все выше сказанное, можно сформулировать теорему.

Теорема.

При решении задач, при a > 1 от неравенства:

переходят к равносильной ему системе неравенств:

При 0 < a < 1 неравенство заменяют следующей системой:

Первые два неравенства каждой из этих систем определяют область допустимых значений переменной для основного неравенства.

Рассмотрим пример.

Рассмотрим еще один пример.

Рассмотрим еще один пример.

Рассмотрим еще один пример.

Рассмотрим еще один пример.

Давайте еще раз повторим алгоритм решения логарифмических неравенств:

1.  Необходимо уровнять основания логарифмов.

2.  Воспользоваться заменой неравенства на равносильную систему неравенств в зависимости от основания логарифма.

3.  Решить полученную систему. Решения этой системы и будут решениями исходного неравенства.