Дисперсия и стандартное отклонение

В описательной статистике рассеивание значений измеряют с помощью дисперсии и стандартного отклонения.

Дисперсией числового набора называется среднее арифметическое квадратов отклонений чисел от их среднего арифметического.

Обычно говорят так: дисперсия – это средний квадрат отклонений.

Слово «дисперсия» в переводе с латинского языка означает «рассеивание, разброс».

В данном примере найдена дисперсия числового набора 5, 6, 7, 8, 9.

Стандартным отклонением числового набора называется квадратный корень из дисперсии этого набора.

В следующем примере найдено стандартное отклонение числового набора 7, 2, 10, 11, 13.

В теории вероятностей речь идёт о случайных величинах. Для описания рассеивания случайной величины используются аналогичные характеристики: дисперсия и стандартное отклонение случайной величины.

Использование одного и того же слова «дисперсия» для измерения рассеивания числовых массивов и случайных величин может создавать неудобства. Поэтому в литературе на английском языке для дисперсии случайной величины обычно используется слово variance (вариация, изменение).

Обозначают дисперсию случайной величины  или .

Как и в случае с математическим ожиданием, скобки в обозначении дисперсии случайной величины используют лишь при необходимости.

Дисперсией случайной величины  называется математическое ожидание случайной величины :

Прочитав эту формулу, легко понять смысл дисперсии.

Дисперсия случайной величины – это математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от своего математического ожидания.

Иногда для нахождения дисперсии удобно использовать формулу .

Можно сказать, что дисперсия случайной величины равна среднему квадрату отклонения этой случайной величины от своего среднего.

Из определения дисперсии случайной величины, следует, что она не может быть отрицательной. Чем она меньше, тем менее вероятно, что эта случайная величина примет значение, далёкое от математического ожидания.

Если дисперсия случайной величины мала, то мала вероятность того, что случайная величина примет значение, которое значительно отличается от математического ожидания.

Если дисперсия равна нулю, то случайная величина  принимает единственное значение. Это означает, что случайная величина постоянна.

Дисперсия случайной величины является мерой рассеивания значений этой величины. Однако в некоторых случаях дисперсия неудобна. Так, например, если случайная величина – рост человека в сантиметрах, то дисперсия измеряется в квадратных сантиметрах.

Удобная мера рассеивания должна выражаться в тех же единицах, что и сама величина.

Выход прост – в качестве меры рассеивания часто применяют корень квадратный из дисперсии. Эту величину называют стандартным отклонением.

Стандартным отклонением случайной величины  называется квадратный корень из дисперсии этой случайной величины.

Название «стандартное отклонение» говорит само за себя – это некоторое среднее, типичное отклонение значений случайной величины от её математического ожидания.

Пример. Вычислим дисперсию и стандартное отклонение числа очков, выпадающих при бросании игрального кубика.

Пусть случайная величина  – число очков, выпавших при однократном бросании игрального кубика. Вероятности выпадения каждой грани одинаковы и равны .

Распределение случайной величины  удобно задать таблицей.

Найдём математическое ожидание случайной величины . Для этого воспользуемся формулой .

Подставим в формулу соответствующие значения из таблицы и выполним вычисления.

Теперь рассмотрим случайную величину . Составим таблицу распределения.

Найдём математическое ожидание этой случайной величины. Для этого подставим в формулу соответствующие значения из таблицы и выполним вычисления.

Чтобы найти дисперсию случайной величины  подставим в формулу  найденные значения и выполним вычисления.

Извлечём квадратный корень из дисперсии и получим стандартное отклонение случайной величины .

Выполним задания.

Задание первое. Проводится одно испытание Бернулли с вероятностью успеха 0,4. Случайная величина  равна числу успехов в этом испытании. Составьте таблицу распределения случайной величины . Найдите дисперсию и стандартное отклонение случайной величины .

Решение.

Задание второе. Бинарная случайная величина  равна единице с вероятностью 0,3. Найдите дисперсию случайной величины .

Бинарная случайная величина – это случайная величина, которая принимает только два значения: нуль и единицу. Вероятность единицы принято обозначать буквой , а вероятность нуля – буквой .

Решение.

Задание третье. Найдите стандартное отклонение случайной величины , если её дисперсия равна: а) 36; б) 0,64.

Решение.

Задание четвёртое. Найдите дисперсию случайной величины , если её стандартное отклонение равно: а) 5; б) 0,3.

Решение.

Задание пятое. Дана таблица, в которой приведено распределение вероятностей случайной величины .

а) Составьте таблицу распределения отклонения от математического ожидания.

б) Составьте распределение квадрата отклонения.

в) Вычислите дисперсию случайной величины .

г) Найдите стандартное отклонение случайной величины .

Решение.

До встречи на следующих занятиях!